Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7597 / 10451
↖ ↑ ↗
← S 44.386691°
W 13.073730°		 ← 1 746.01 m → S 44.386691°
W 13.051758°		 →
↑
1 745.78 m
↓
↑
1 745.78 m
↓
S 44.402392°
W 13.073730°		 ← 1 745.54 m →
3 047 738 m²		 S 44.402392°
W 13.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463714599609375 y=0.637908935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463714599609375 × 214)
    floor (0.463714599609375 × 16384)
    floor (7597.5)     		tx = 7597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637908935546875 × 214)
    floor (0.637908935546875 × 16384)
    floor (10451.5)     		ty = 10451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7597 / 10451 ti = "14/7597/10451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7597/10451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7597 ÷ 214
    7597 ÷ 16384     		x = 0.46368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10451 ÷ 214
    10451 ÷ 16384     		y = 0.63787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0726318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22817964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.866315649933655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22817964} λ = -0.22817964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866315649933655))-π/2
    2×atan(0.420497960426665)-π/2
    2×0.398051208016525-π/2
    0.796102416033051-1.57079632675     		φ = -0.77469391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22817964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77469391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.386691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7597 KachelY 10451 -0.22817964 -0.77469391 -13.073730 -44.386691
    Oben rechts KachelX + 1 7598 KachelY 10451 -0.22779615 -0.77469391 -13.051758 -44.386691
    Unten links KachelX 7597 KachelY + 1 10452 -0.22817964 -0.77496793 -13.073730 -44.402392
    Unten rechts KachelX + 1 7598 KachelY + 1 10452 -0.22779615 -0.77496793 -13.051758 -44.402392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77469391--0.77496793) × R
    0.000274019999999986 × 6371000     		dl = 1745.78141999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77469391--0.77496793) × R
    0.000274019999999986 × 6371000     		dr = 1745.78141999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22817964--0.22779615) × cos(-0.77469391) × R
    0.000383489999999986 × 0.714635176678648 × 6371000     		do = 1746.00723311547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22817964--0.22779615) × cos(-0.77496793) × R
    0.000383489999999986 × 0.714443473583078 × 6371000     		du = 1745.53886127709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77469391)-sin(-0.77496793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714635176678648-0.714443473583078)×R²
    abs(-0.22779615--0.22817964)×0.000191703095569817×R²
    0.000383489999999986×0.000191703095569817×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191703095569817×40589641000000     		ar = 3047738.16840341m²