Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75965 / 54405
↖ ↑ ↗
← N 29.216905°
E 28.644104°		 ← 266.51 m → N 29.216905°
E 28.646850°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
N 29.214508°
E 28.644104°		 ← 266.52 m →
71 043 m²		 N 29.214508°
E 28.646850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579570770263672 y=0.415081024169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579570770263672 × 217)
    floor (0.579570770263672 × 131072)
    floor (75965.5)     		tx = 75965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415081024169922 × 217)
    floor (0.415081024169922 × 131072)
    floor (54405.5)     		ty = 54405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75965 / 54405 ti = "17/75965/54405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75965/54405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75965 ÷ 217
    75965 ÷ 131072     		x = 0.579566955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54405 ÷ 217
    54405 ÷ 131072     		y = 0.415077209472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579566955566406 × 2 - 1) × π
    0.159133911132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.49993393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415077209472656 × 2 - 1) × π
    0.169845581054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.533585629670845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49993393} λ = 0.49993393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533585629670845))-π/2
    2×atan(1.70503498514372)-π/2
    2×1.04036375768482-π/2
    2.08072751536963-1.57079632675     		φ = 0.50993119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49993393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.644104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50993119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.216905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75965 KachelY 54405 0.49993393 0.50993119 28.644104 29.216905
    Oben rechts KachelX + 1 75966 KachelY 54405 0.49998186 0.50993119 28.646850 29.216905
    Unten links KachelX 75965 KachelY + 1 54406 0.49993393 0.50988935 28.644104 29.214508
    Unten rechts KachelX + 1 75966 KachelY + 1 54406 0.49998186 0.50988935 28.646850 29.214508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50993119-0.50988935) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dl = 266.562639999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50993119-0.50988935) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dr = 266.562639999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49993393-0.49998186) × cos(0.50993119) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.87277809705594 × 6371000     		do = 266.513291456393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49993393-0.49998186) × cos(0.50988935) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.872798519115319 × 6371000     		du = 266.519527577902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50993119)-sin(0.50988935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87277809705594-0.872798519115319)×R²
    abs(0.49998186-0.49993393)×2.04220593783555e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04220593783555e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04220593783555e-05×40589641000000     		ar = 71043.3177344735m²