Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75964 / 54428
↖ ↑ ↗
← N 29.161756°
E 28.641357°		 ← 266.71 m → N 29.161756°
E 28.644104°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
N 29.159357°
E 28.641357°		 ← 266.72 m →
71 130 m²		 N 29.159357°
E 28.644104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579563140869141 y=0.415256500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579563140869141 × 217)
    floor (0.579563140869141 × 131072)
    floor (75964.5)     		tx = 75964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415256500244141 × 217)
    floor (0.415256500244141 × 131072)
    floor (54428.5)     		ty = 54428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75964 / 54428 ti = "17/75964/54428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75964/54428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75964 ÷ 217
    75964 ÷ 131072     		x = 0.579559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54428 ÷ 217
    54428 ÷ 131072     		y = 0.415252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579559326171875 × 2 - 1) × π
    0.15911865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49988599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415252685546875 × 2 - 1) × π
    0.16949462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.532483080979584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49988599} λ = 0.49988599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.532483080979584))-π/2
    2×atan(1.70315613700341)-π/2
    2×1.03988248809285-π/2
    2.07976497618571-1.57079632675     		φ = 0.50896865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49988599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.641357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50896865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.161756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75964 KachelY 54428 0.49988599 0.50896865 28.641357 29.161756
    Oben rechts KachelX + 1 75965 KachelY 54428 0.49993393 0.50896865 28.644104 29.161756
    Unten links KachelX 75964 KachelY + 1 54429 0.49988599 0.50892679 28.641357 29.159357
    Unten rechts KachelX + 1 75965 KachelY + 1 54429 0.49993393 0.50892679 28.644104 29.159357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50896865-0.50892679) × R
    4.18600000000602e-05 × 6371000     		dl = 266.690060000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50896865-0.50892679) × R
    4.18600000000602e-05 × 6371000     		dr = 266.690060000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49988599-0.49993393) × cos(0.50896865) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873247524998437 × 6371000     		do = 266.71227152595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49988599-0.49993393) × cos(0.50892679) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873267921643649 × 6371000     		du = 266.718501186407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50896865)-sin(0.50892679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873247524998437-0.873267921643649)×R²
    abs(0.49993393-0.49988599)×2.03966452114734e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03966452114734e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03966452114734e-05×40589641000000     		ar = 71130.3424008175m²