Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75964 / 54396
↖ ↑ ↗
← N 29.238477°
E 28.641357°		 ← 266.51 m → N 29.238477°
E 28.644104°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
N 29.236080°
E 28.641357°		 ← 266.52 m →
71 026 m²		 N 29.236080°
E 28.644104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579563140869141 y=0.415012359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579563140869141 × 217)
    floor (0.579563140869141 × 131072)
    floor (75964.5)     		tx = 75964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415012359619141 × 217)
    floor (0.415012359619141 × 131072)
    floor (54396.5)     		ty = 54396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75964 / 54396 ti = "17/75964/54396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75964/54396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75964 ÷ 217
    75964 ÷ 131072     		x = 0.579559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54396 ÷ 217
    54396 ÷ 131072     		y = 0.415008544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579559326171875 × 2 - 1) × π
    0.15911865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49988599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415008544921875 × 2 - 1) × π
    0.16998291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.534017061767426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49988599} λ = 0.49988599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534017061767426))-π/2
    2×atan(1.70577075066713)-π/2
    2×1.04055201009997-π/2
    2.08110402019994-1.57079632675     		φ = 0.51030769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49988599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.641357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51030769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.238477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75964 KachelY 54396 0.49988599 0.51030769 28.641357 29.238477
    Oben rechts KachelX + 1 75965 KachelY 54396 0.49993393 0.51030769 28.644104 29.238477
    Unten links KachelX 75964 KachelY + 1 54397 0.49988599 0.51026586 28.641357 29.236080
    Unten rechts KachelX + 1 75965 KachelY + 1 54397 0.49993393 0.51026586 28.644104 29.236080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51030769-0.51026586) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dl = 266.49893000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51030769-0.51026586) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dr = 266.49893000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49988599-0.49993393) × cos(0.51030769) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872594259078299 × 6371000     		do = 266.512747298875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49988599-0.49993393) × cos(0.51026586) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872614690000961 × 6371000     		du = 266.518987428548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51030769)-sin(0.51026586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872594259078299-0.872614690000961)×R²
    abs(0.49993393-0.49988599)×2.04309226627952e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04309226627952e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04309226627952e-05×40589641000000     		ar = 71026.1934908367m²