Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75963 / 54427
↖ ↑ ↗
← N 29.164154°
E 28.638611°		 ← 266.71 m → N 29.164154°
E 28.641357°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
N 29.161756°
E 28.638611°		 ← 266.71 m →
71 129 m²		 N 29.161756°
E 28.641357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579555511474609 y=0.415248870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579555511474609 × 217)
    floor (0.579555511474609 × 131072)
    floor (75963.5)     		tx = 75963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415248870849609 × 217)
    floor (0.415248870849609 × 131072)
    floor (54427.5)     		ty = 54427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75963 / 54427 ti = "17/75963/54427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75963/54427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75963 ÷ 217
    75963 ÷ 131072     		x = 0.579551696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54427 ÷ 217
    54427 ÷ 131072     		y = 0.415245056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579551696777344 × 2 - 1) × π
    0.159103393554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.49983805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415245056152344 × 2 - 1) × π
    0.169509887695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.532531017879204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49983805} λ = 0.49983805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.532531017879204))-π/2
    2×atan(1.7032377829851)-π/2
    2×1.03990341823788-π/2
    2.07980683647576-1.57079632675     		φ = 0.50901051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49983805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.638611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50901051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.164154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75963 KachelY 54427 0.49983805 0.50901051 28.638611 29.164154
    Oben rechts KachelX + 1 75964 KachelY 54427 0.49988599 0.50901051 28.641357 29.164154
    Unten links KachelX 75963 KachelY + 1 54428 0.49983805 0.50896865 28.638611 29.161756
    Unten rechts KachelX + 1 75964 KachelY + 1 54428 0.49988599 0.50896865 28.641357 29.161756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50901051-0.50896865) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dl = 266.690059999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50901051-0.50896865) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dr = 266.690059999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49983805-0.49988599) × cos(0.50901051) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873227126823069 × 6371000     		do = 266.706041398144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49983805-0.49988599) × cos(0.50896865) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873247524998437 × 6371000     		du = 266.71227152595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50901051)-sin(0.50896865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873227126823069-0.873247524998437)×R²
    abs(0.49988599-0.49983805)×2.03981753679194e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03981753679194e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03981753679194e-05×40589641000000     		ar = 71128.6809496175m²