Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75961 / 54457
↖ ↑ ↗
← N 29.092177°
E 28.633118°		 ← 266.89 m → N 29.092177°
E 28.635865°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
N 29.089777°
E 28.633118°		 ← 266.90 m →
71 229 m²		 N 29.089777°
E 28.635865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579540252685547 y=0.415477752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579540252685547 × 217)
    floor (0.579540252685547 × 131072)
    floor (75961.5)     		tx = 75961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415477752685547 × 217)
    floor (0.415477752685547 × 131072)
    floor (54457.5)     		ty = 54457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75961 / 54457 ti = "17/75961/54457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75961/54457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75961 ÷ 217
    75961 ÷ 131072     		x = 0.579536437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54457 ÷ 217
    54457 ÷ 131072     		y = 0.415473937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579536437988281 × 2 - 1) × π
    0.159072875976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.49974218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415473937988281 × 2 - 1) × π
    0.169052124023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.531092910890602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49974218} λ = 0.49974218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531092910890602))-π/2
    2×atan(1.70079010525921)-π/2
    2×1.03927530131679-π/2
    2.07855060263357-1.57079632675     		φ = 0.50775428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49974218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.633118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50775428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.092177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75961 KachelY 54457 0.49974218 0.50775428 28.633118 29.092177
    Oben rechts KachelX + 1 75962 KachelY 54457 0.49979012 0.50775428 28.635865 29.092177
    Unten links KachelX 75961 KachelY + 1 54458 0.49974218 0.50771239 28.633118 29.089777
    Unten rechts KachelX + 1 75962 KachelY + 1 54458 0.49979012 0.50771239 28.635865 29.089777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50775428-0.50771239) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50775428-0.50771239) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49974218-0.49979012) × cos(0.50775428) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873838615394052 × 6371000     		do = 266.892805747438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49974218-0.49979012) × cos(0.50771239) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873858982218849 × 6371000     		du = 266.899026299973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50775428)-sin(0.50771239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873838615394052-0.873858982218849)×R²
    abs(0.49979012-0.49974218)×2.03668247964472e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03668247964472e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03668247964472e-05×40589641000000     		ar = 71229.4996849309m²