Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7596 / 10445
↖ ↑ ↗
← S 44.292401°
W 13.095703°		 ← 1 748.86 m → S 44.292401°
W 13.073730°		 →
↑
1 748.65 m
↓
↑
1 748.65 m
↓
S 44.308127°
W 13.095703°		 ← 1 748.39 m →
3 057 737 m²		 S 44.308127°
W 13.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463653564453125 y=0.637542724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463653564453125 × 214)
    floor (0.463653564453125 × 16384)
    floor (7596.5)     		tx = 7596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637542724609375 × 214)
    floor (0.637542724609375 × 16384)
    floor (10445.5)     		ty = 10445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7596 / 10445 ti = "14/7596/10445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7596/10445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7596 ÷ 214
    7596 ÷ 16384     		x = 0.463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10445 ÷ 214
    10445 ÷ 16384     		y = 0.63751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.07275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22856314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.2750244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.864014678751892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22856314} λ = -0.22856314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864014678751892))-π/2
    2×atan(0.421466628126447)-π/2
    2×0.398874047130176-π/2
    0.797748094260352-1.57079632675     		φ = -0.77304823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22856314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77304823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.292401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7596 KachelY 10445 -0.22856314 -0.77304823 -13.095703 -44.292401
    Oben rechts KachelX + 1 7597 KachelY 10445 -0.22817964 -0.77304823 -13.073730 -44.292401
    Unten links KachelX 7596 KachelY + 1 10446 -0.22856314 -0.77332270 -13.095703 -44.308127
    Unten rechts KachelX + 1 7597 KachelY + 1 10446 -0.22817964 -0.77332270 -13.073730 -44.308127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77304823--0.77332270) × R
    0.000274470000000027 × 6371000     		dl = 1748.64837000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77304823--0.77332270) × R
    0.000274470000000027 × 6371000     		dr = 1748.64837000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22856314--0.22817964) × cos(-0.77304823) × R
    0.000383500000000009 × 0.715785357273734 × 6371000     		do = 1748.86297404177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22856314--0.22817964) × cos(-0.77332270) × R
    0.000383500000000009 × 0.715593662326088 × 6371000     		du = 1748.39460989763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77304823)-sin(-0.77332270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715785357273734-0.715593662326088)×R²
    abs(-0.22817964--0.22856314)×0.000191694947645593×R²
    0.000383500000000009×0.000191694947645593×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191694947645593×40589641000000     		ar = 3057736.90600943m²