Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7596 / 10434
↖ ↑ ↗
← S 44.119141°
W 13.095703°		 ← 1 754.01 m → S 44.119141°
W 13.073730°		 →
↑
1 753.75 m
↓
↑
1 753.75 m
↓
S 44.134913°
W 13.095703°		 ← 1 753.55 m →
3 075 684 m²		 S 44.134913°
W 13.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463653564453125 y=0.636871337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463653564453125 × 214)
    floor (0.463653564453125 × 16384)
    floor (7596.5)     		tx = 7596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636871337890625 × 214)
    floor (0.636871337890625 × 16384)
    floor (10434.5)     		ty = 10434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7596 / 10434 ti = "14/7596/10434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7596/10434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7596 ÷ 214
    7596 ÷ 16384     		x = 0.463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10434 ÷ 214
    10434 ÷ 16384     		y = 0.6368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.07275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22856314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.859796231585327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22856314} λ = -0.22856314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859796231585327))-π/2
    2×atan(0.423248318170185)-π/2
    2×0.400386022098691-π/2
    0.800772044197383-1.57079632675     		φ = -0.77002428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22856314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77002428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.119141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7596 KachelY 10434 -0.22856314 -0.77002428 -13.095703 -44.119141
    Oben rechts KachelX + 1 7597 KachelY 10434 -0.22817964 -0.77002428 -13.073730 -44.119141
    Unten links KachelX 7596 KachelY + 1 10435 -0.22856314 -0.77029955 -13.095703 -44.134913
    Unten rechts KachelX + 1 7597 KachelY + 1 10435 -0.22817964 -0.77029955 -13.073730 -44.134913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77002428--0.77029955) × R
    0.00027527000000005 × 6371000     		dl = 1753.74517000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77002428--0.77029955) × R
    0.00027527000000005 × 6371000     		dr = 1753.74517000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22856314--0.22817964) × cos(-0.77002428) × R
    0.000383500000000009 × 0.71789376723574 × 6371000     		do = 1754.01440677113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22856314--0.22817964) × cos(-0.77029955) × R
    0.000383500000000009 × 0.717702110094196 × 6371000     		du = 1753.54613499782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77002428)-sin(-0.77029955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71789376723574-0.717702110094196)×R²
    abs(-0.22817964--0.22856314)×0.00019165714154401×R²
    0.000383500000000009×0.00019165714154401×6371000²
    0.000383500000000009×0.00019165714154401×40589641000000     		ar = 3075683.69872616m²