Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75959 / 60987
↖ ↑ ↗
← N 12.396341°
E 28.627624°		 ← 298.31 m → N 12.396341°
E 28.630371°		 →
↑
298.29 m
↓
↑
298.29 m
↓
N 12.393659°
E 28.627624°		 ← 298.31 m →
88 982 m²		 N 12.393659°
E 28.630371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579524993896484 y=0.465297698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579524993896484 × 217)
    floor (0.579524993896484 × 131072)
    floor (75959.5)     		tx = 75959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465297698974609 × 217)
    floor (0.465297698974609 × 131072)
    floor (60987.5)     		ty = 60987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75959 / 60987 ti = "17/75959/60987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75959/60987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75959 ÷ 217
    75959 ÷ 131072     		x = 0.579521179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60987 ÷ 217
    60987 ÷ 131072     		y = 0.465293884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579521179199219 × 2 - 1) × π
    0.159042358398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.49964630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465293884277344 × 2 - 1) × π
    0.0694122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.218064956371635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49964630} λ = 0.49964630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.218064956371635))-π/2
    2×atan(1.2436678491464)-π/2
    2×0.893576649922665-π/2
    1.78715329984533-1.57079632675     		φ = 0.21635697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49964630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.627624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21635697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.396341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75959 KachelY 60987 0.49964630 0.21635697 28.627624 12.396341
    Oben rechts KachelX + 1 75960 KachelY 60987 0.49969424 0.21635697 28.630371 12.396341
    Unten links KachelX 75959 KachelY + 1 60988 0.49964630 0.21631015 28.627624 12.393659
    Unten rechts KachelX + 1 75960 KachelY + 1 60988 0.49969424 0.21631015 28.630371 12.393659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21635697-0.21631015) × R
    4.6820000000003e-05 × 6371000     		dl = 298.290220000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21635697-0.21631015) × R
    4.6820000000003e-05 × 6371000     		dr = 298.290220000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49964630-0.49969424) × cos(0.21635697) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.976685988749737 × 6371000     		do = 298.30504086167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49964630-0.49969424) × cos(0.21631015) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.976696038667177 × 6371000     		du = 298.308110365141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21635697)-sin(0.21631015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976685988749737-0.976696038667177)×R²
    abs(0.49969424-0.49964630)×1.00499174399138e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.00499174399138e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.00499174399138e-05×40589641000000     		ar = 88981.9340834261m²