Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75959 / 54459
↖ ↑ ↗
← N 29.087377°
E 28.627624°		 ← 266.91 m → N 29.087377°
E 28.630371°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
N 29.084976°
E 28.627624°		 ← 266.91 m →
71 250 m²		 N 29.084976°
E 28.630371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579524993896484 y=0.415493011474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579524993896484 × 217)
    floor (0.579524993896484 × 131072)
    floor (75959.5)     		tx = 75959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415493011474609 × 217)
    floor (0.415493011474609 × 131072)
    floor (54459.5)     		ty = 54459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75959 / 54459 ti = "17/75959/54459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75959/54459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75959 ÷ 217
    75959 ÷ 131072     		x = 0.579521179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54459 ÷ 217
    54459 ÷ 131072     		y = 0.415489196777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579521179199219 × 2 - 1) × π
    0.159042358398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.49964630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415489196777344 × 2 - 1) × π
    0.169021606445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.530997037091362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49964630} λ = 0.49964630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.530997037091362))-π/2
    2×atan(1.7006270518665)-π/2
    2×1.03923341122639-π/2
    2.07846682245279-1.57079632675     		φ = 0.50767050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49964630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.627624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50767050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.087377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75959 KachelY 54459 0.49964630 0.50767050 28.627624 29.087377
    Oben rechts KachelX + 1 75960 KachelY 54459 0.49969424 0.50767050 28.630371 29.087377
    Unten links KachelX 75959 KachelY + 1 54460 0.49964630 0.50762860 28.627624 29.084976
    Unten rechts KachelX + 1 75960 KachelY + 1 54460 0.49969424 0.50762860 28.630371 29.084976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50767050-0.50762860) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dl = 266.944900000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50767050-0.50762860) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dr = 266.944900000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49964630-0.49969424) × cos(0.50767050) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873879347510222 × 6371000     		do = 266.905246384161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49964630-0.49969424) × cos(0.50762860) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873899716129198 × 6371000     		du = 266.911467484684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50767050)-sin(0.50762860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873879347510222-0.873899716129198)×R²
    abs(0.49969424-0.49964630)×2.0368618976585e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0368618976585e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0368618976585e-05×40589641000000     		ar = 71249.8246615469m²