Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75958 / 54425
↖ ↑ ↗
← N 29.168951°
E 28.624878°		 ← 266.64 m → N 29.168951°
E 28.627624°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
N 29.166552°
E 28.624878°		 ← 266.64 m →
71 111 m²		 N 29.166552°
E 28.627624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579517364501953 y=0.415233612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579517364501953 × 217)
    floor (0.579517364501953 × 131072)
    floor (75958.5)     		tx = 75958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415233612060547 × 217)
    floor (0.415233612060547 × 131072)
    floor (54425.5)     		ty = 54425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75958 / 54425 ti = "17/75958/54425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75958/54425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75958 ÷ 217
    75958 ÷ 131072     		x = 0.579513549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54425 ÷ 217
    54425 ÷ 131072     		y = 0.415229797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579513549804688 × 2 - 1) × π
    0.159027099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49959837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415229797363281 × 2 - 1) × π
    0.169540405273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.532626891678444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49959837} λ = 0.49959837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.532626891678444))-π/2
    2×atan(1.70340108669051)-π/2
    2×1.03994527706112-π/2
    2.07989055412224-1.57079632675     		φ = 0.50909423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49959837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.624878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50909423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.168951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75958 KachelY 54425 0.49959837 0.50909423 28.624878 29.168951
    Oben rechts KachelX + 1 75959 KachelY 54425 0.49964630 0.50909423 28.627624 29.168951
    Unten links KachelX 75958 KachelY + 1 54426 0.49959837 0.50905237 28.624878 29.166552
    Unten rechts KachelX + 1 75959 KachelY + 1 54426 0.49964630 0.50905237 28.627624 29.166552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50909423-0.50905237) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dl = 266.690059999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50909423-0.50905237) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dr = 266.690059999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49959837-0.49964630) × cos(0.50909423) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873186325882007 × 6371000     		do = 266.637949039426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49959837-0.49964630) × cos(0.50905237) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873206727117581 × 6371000     		du = 266.644178802135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50909423)-sin(0.50905237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873186325882007-0.873206727117581)×R²
    abs(0.49964630-0.49959837)×2.04012355733418e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04012355733418e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04012355733418e-05×40589641000000     		ar = 71110.5213457919m²