Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75955 / 54437
↖ ↑ ↗
← N 29.140167°
E 28.616638°		 ← 266.71 m → N 29.140167°
E 28.619385°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
N 29.137768°
E 28.616638°		 ← 266.72 m →
71 147 m²		 N 29.137768°
E 28.619385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579494476318359 y=0.415325164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579494476318359 × 217)
    floor (0.579494476318359 × 131072)
    floor (75955.5)     		tx = 75955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415325164794922 × 217)
    floor (0.415325164794922 × 131072)
    floor (54437.5)     		ty = 54437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75955 / 54437 ti = "17/75955/54437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75955/54437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75955 ÷ 217
    75955 ÷ 131072     		x = 0.579490661621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54437 ÷ 217
    54437 ÷ 131072     		y = 0.415321350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579490661621094 × 2 - 1) × π
    0.158981323242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.49945456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415321350097656 × 2 - 1) × π
    0.169357299804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.532051648883003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49945456} λ = 0.49945456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.532051648883003))-π/2
    2×atan(1.70242149926496)-π/2
    2×1.03969409479-π/2
    2.07938818958-1.57079632675     		φ = 0.50859186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49945456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.616638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50859186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.140167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75955 KachelY 54437 0.49945456 0.50859186 28.616638 29.140167
    Oben rechts KachelX + 1 75956 KachelY 54437 0.49950249 0.50859186 28.619385 29.140167
    Unten links KachelX 75955 KachelY + 1 54438 0.49945456 0.50854999 28.616638 29.137768
    Unten rechts KachelX + 1 75956 KachelY + 1 54438 0.49950249 0.50854999 28.619385 29.137768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50859186-0.50854999) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50859186-0.50854999) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49945456-0.49950249) × cos(0.50859186) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.873431064062815 × 6371000     		do = 266.712682787445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49945456-0.49950249) × cos(0.50854999) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.873451451802296 × 6371000     		du = 266.71890842896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50859186)-sin(0.50854999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873431064062815-0.873451451802296)×R²
    abs(0.49950249-0.49945456)×2.0387739480765e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0387739480765e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0387739480765e-05×40589641000000     		ar = 71147.4440073508m²