Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75954 / 58278
↖ ↑ ↗
← N 19.544261°
E 28.613892°		 ← 287.83 m → N 19.544261°
E 28.616638°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
N 19.541673°
E 28.613892°		 ← 287.83 m →
82 831 m²		 N 19.541673°
E 28.616638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579486846923828 y=0.444629669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579486846923828 × 217)
    floor (0.579486846923828 × 131072)
    floor (75954.5)     		tx = 75954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444629669189453 × 217)
    floor (0.444629669189453 × 131072)
    floor (58278.5)     		ty = 58278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75954 / 58278 ti = "17/75954/58278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75954/58278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75954 ÷ 217
    75954 ÷ 131072     		x = 0.579483032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58278 ÷ 217
    58278 ÷ 131072     		y = 0.444625854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579483032226562 × 2 - 1) × π
    0.158966064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49940662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444625854492188 × 2 - 1) × π
    0.110748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.347926017442368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49940662} λ = 0.49940662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347926017442368))-π/2
    2×atan(1.41612747713171)-π/2
    2×0.955954014547372-π/2
    1.91190802909474-1.57079632675     		φ = 0.34111170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49940662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.613892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34111170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.544261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75954 KachelY 58278 0.49940662 0.34111170 28.613892 19.544261
    Oben rechts KachelX + 1 75955 KachelY 58278 0.49945456 0.34111170 28.616638 19.544261
    Unten links KachelX 75954 KachelY + 1 58279 0.49940662 0.34106653 28.613892 19.541673
    Unten rechts KachelX + 1 75955 KachelY + 1 58279 0.49945456 0.34106653 28.616638 19.541673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34111170-0.34106653) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dl = 287.778070000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34111170-0.34106653) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dr = 287.778070000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49940662-0.49945456) × cos(0.34111170) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942383345440086 × 6371000     		do = 287.828130644525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49940662-0.49945456) × cos(0.34106653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942398455422215 × 6371000     		du = 287.832745621998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34111170)-sin(0.34106653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942383345440086-0.942398455422215)×R²
    abs(0.49945456-0.49940662)×1.51099821292799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51099821292799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51099821292799e-05×40589641000000     		ar = 82831.287987407m²