Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75954 / 54353
↖ ↑ ↗
← N 29.341481°
E 28.613892°		 ← 266.24 m → N 29.341481°
E 28.616638°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
N 29.339087°
E 28.613892°		 ← 266.25 m →
70 870 m²		 N 29.339087°
E 28.616638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579486846923828 y=0.414684295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579486846923828 × 217)
    floor (0.579486846923828 × 131072)
    floor (75954.5)     		tx = 75954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414684295654297 × 217)
    floor (0.414684295654297 × 131072)
    floor (54353.5)     		ty = 54353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75954 / 54353 ti = "17/75954/54353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75954/54353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75954 ÷ 217
    75954 ÷ 131072     		x = 0.579483032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54353 ÷ 217
    54353 ÷ 131072     		y = 0.414680480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579483032226562 × 2 - 1) × π
    0.158966064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49940662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414680480957031 × 2 - 1) × π
    0.170639038085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.536078348451088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49940662} λ = 0.49940662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536078348451088))-π/2
    2×atan(1.70929045951911)-π/2
    2×1.0414508904926-π/2
    2.0829017809852-1.57079632675     		φ = 0.51210545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49940662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.613892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51210545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.341481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75954 KachelY 54353 0.49940662 0.51210545 28.613892 29.341481
    Oben rechts KachelX + 1 75955 KachelY 54353 0.49945456 0.51210545 28.616638 29.341481
    Unten links KachelX 75954 KachelY + 1 54354 0.49940662 0.51206367 28.613892 29.339087
    Unten rechts KachelX + 1 75955 KachelY + 1 54354 0.49945456 0.51206367 28.616638 29.339087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51210545-0.51206367) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dl = 266.180379999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51210545-0.51206367) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dr = 266.180379999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49940662-0.49945456) × cos(0.51210545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871714741218238 × 6371000     		do = 266.244119905314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49940662-0.49945456) × cos(0.51206367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871735213229107 × 6371000     		du = 266.250372584383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51210545)-sin(0.51206367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871714741218238-0.871735213229107)×R²
    abs(0.49945456-0.49940662)×2.04720108686329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04720108686329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04720108686329e-05×40589641000000     		ar = 70869.7931896557m²