Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75952 / 54410
↖ ↑ ↗
← N 29.204919°
E 28.608399°		 ← 266.54 m → N 29.204919°
E 28.611145°		 →
↑
266.63 m
↓
↑
266.63 m
↓
N 29.202521°
E 28.608399°		 ← 266.55 m →
71 069 m²		 N 29.202521°
E 28.611145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579471588134766 y=0.415119171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579471588134766 × 217)
    floor (0.579471588134766 × 131072)
    floor (75952.5)     		tx = 75952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415119171142578 × 217)
    floor (0.415119171142578 × 131072)
    floor (54410.5)     		ty = 54410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75952 / 54410 ti = "17/75952/54410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75952/54410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75952 ÷ 217
    75952 ÷ 131072     		x = 0.5794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54410 ÷ 217
    54410 ÷ 131072     		y = 0.415115356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5794677734375 × 2 - 1) × π
    0.158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49931075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415115356445312 × 2 - 1) × π
    0.169769287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.533345945172745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49931075} λ = 0.49931075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533345945172745))-π/2
    2×atan(1.70462636366114)-π/2
    2×1.04025915587664-π/2
    2.08051831175329-1.57079632675     		φ = 0.50972199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49931075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.608399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50972199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.204919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75952 KachelY 54410 0.49931075 0.50972199 28.608399 29.204919
    Oben rechts KachelX + 1 75953 KachelY 54410 0.49935868 0.50972199 28.611145 29.204919
    Unten links KachelX 75952 KachelY + 1 54411 0.49931075 0.50968014 28.608399 29.202521
    Unten rechts KachelX + 1 75953 KachelY + 1 54411 0.49935868 0.50968014 28.611145 29.202521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50972199-0.50968014) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dl = 266.626350000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50972199-0.50968014) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dr = 266.626350000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49931075-0.49935868) × cos(0.50972199) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.87288019207339 × 6371000     		do = 266.544467398175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49931075-0.49935868) × cos(0.50968014) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.872900611371849 × 6371000     		du = 266.550702676603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50972199)-sin(0.50968014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87288019207339-0.872900611371849)×R²
    abs(0.49935868-0.49931075)×2.04192984589735e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04192984589735e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04192984589735e-05×40589641000000     		ar = 71068.609710198m²