Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75951 / 54411
↖ ↑ ↗
← N 29.202521°
E 28.605652°		 ← 266.61 m → N 29.202521°
E 28.608399°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
N 29.200124°
E 28.605652°		 ← 266.61 m →
71 068 m²		 N 29.200124°
E 28.608399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579463958740234 y=0.415126800537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579463958740234 × 217)
    floor (0.579463958740234 × 131072)
    floor (75951.5)     		tx = 75951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415126800537109 × 217)
    floor (0.415126800537109 × 131072)
    floor (54411.5)     		ty = 54411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75951 / 54411 ti = "17/75951/54411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75951/54411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75951 ÷ 217
    75951 ÷ 131072     		x = 0.579460144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54411 ÷ 217
    54411 ÷ 131072     		y = 0.415122985839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579460144042969 × 2 - 1) × π
    0.158920288085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.49926281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415122985839844 × 2 - 1) × π
    0.169754028320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.533298008273125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49926281} λ = 0.49926281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533298008273125))-π/2
    2×atan(1.7045446511168)-π/2
    2×1.04023823404684-π/2
    2.08047646809367-1.57079632675     		φ = 0.50968014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49926281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.605652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50968014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.202521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75951 KachelY 54411 0.49926281 0.50968014 28.605652 29.202521
    Oben rechts KachelX + 1 75952 KachelY 54411 0.49931075 0.50968014 28.608399 29.202521
    Unten links KachelX 75951 KachelY + 1 54412 0.49926281 0.50963830 28.605652 29.200124
    Unten rechts KachelX + 1 75952 KachelY + 1 54412 0.49931075 0.50963830 28.608399 29.200124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50968014-0.50963830) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dl = 266.562639999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50968014-0.50963830) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dr = 266.562639999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49926281-0.49931075) × cos(0.50968014) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872900611371849 × 6371000     		do = 266.606315174833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49926281-0.49931075) × cos(0.50963830) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872921024262875 × 6371000     		du = 266.61254979718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50968014)-sin(0.50963830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872900611371849-0.872921024262875)×R²
    abs(0.49931075-0.49926281)×2.04128910259449e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04128910259449e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04128910259449e-05×40589641000000     		ar = 71068.1141826197m²