Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75951 / 54375
↖ ↑ ↗
← N 29.288795°
E 28.605652°		 ← 266.38 m → N 29.288795°
E 28.608399°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
N 29.286399°
E 28.605652°		 ← 266.39 m →
70 957 m²		 N 29.286399°
E 28.608399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579463958740234 y=0.414852142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579463958740234 × 217)
    floor (0.579463958740234 × 131072)
    floor (75951.5)     		tx = 75951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414852142333984 × 217)
    floor (0.414852142333984 × 131072)
    floor (54375.5)     		ty = 54375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75951 / 54375 ti = "17/75951/54375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75951/54375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75951 ÷ 217
    75951 ÷ 131072     		x = 0.579460144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54375 ÷ 217
    54375 ÷ 131072     		y = 0.414848327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579460144042969 × 2 - 1) × π
    0.158920288085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.49926281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414848327636719 × 2 - 1) × π
    0.170303344726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.535023736659447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49926281} λ = 0.49926281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535023736659447))-π/2
    2×atan(1.70748877185268)-π/2
    2×1.04099111144519-π/2
    2.08198222289038-1.57079632675     		φ = 0.51118590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49926281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.605652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51118590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.288795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75951 KachelY 54375 0.49926281 0.51118590 28.605652 29.288795
    Oben rechts KachelX + 1 75952 KachelY 54375 0.49931075 0.51118590 28.608399 29.288795
    Unten links KachelX 75951 KachelY + 1 54376 0.49926281 0.51114409 28.605652 29.286399
    Unten rechts KachelX + 1 75952 KachelY + 1 54376 0.49931075 0.51114409 28.608399 29.286399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51118590-0.51114409) × R
    4.180999999992e-05 × 6371000     		dl = 266.37150999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51118590-0.51114409) × R
    4.180999999992e-05 × 6371000     		dr = 266.37150999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49926281-0.49931075) × cos(0.51118590) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872164964688478 × 6371000     		do = 266.381629742186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49926281-0.49931075) × cos(0.51114409) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872185417875333 × 6371000     		du = 266.387876671917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51118590)-sin(0.51114409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872164964688478-0.872185417875333)×R²
    abs(0.49931075-0.49926281)×2.04531868545077e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04531868545077e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04531868545077e-05×40589641000000     		ar = 70957.3089629364m²