Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75950 / 54369
↖ ↑ ↗
← N 29.303166°
E 28.602905°		 ← 266.34 m → N 29.303166°
E 28.605652°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
N 29.300771°
E 28.602905°		 ← 266.35 m →
70 930 m²		 N 29.300771°
E 28.605652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579456329345703 y=0.414806365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579456329345703 × 217)
    floor (0.579456329345703 × 131072)
    floor (75950.5)     		tx = 75950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414806365966797 × 217)
    floor (0.414806365966797 × 131072)
    floor (54369.5)     		ty = 54369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75950 / 54369 ti = "17/75950/54369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75950/54369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75950 ÷ 217
    75950 ÷ 131072     		x = 0.579452514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54369 ÷ 217
    54369 ÷ 131072     		y = 0.414802551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579452514648438 × 2 - 1) × π
    0.158905029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49921487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414802551269531 × 2 - 1) × π
    0.170394897460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.535311358057167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49921487} λ = 0.49921487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535311358057167))-π/2
    2×atan(1.70797995279352)-π/2
    2×1.0411165292734-π/2
    2.0822330585468-1.57079632675     		φ = 0.51143673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49921487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.602905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51143673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.303166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75950 KachelY 54369 0.49921487 0.51143673 28.602905 29.303166
    Oben rechts KachelX + 1 75951 KachelY 54369 0.49926281 0.51143673 28.605652 29.303166
    Unten links KachelX 75950 KachelY + 1 54370 0.49921487 0.51139493 28.602905 29.300771
    Unten rechts KachelX + 1 75951 KachelY + 1 54370 0.49926281 0.51139493 28.605652 29.300771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51143673-0.51139493) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51143673-0.51139493) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49921487-0.49926281) × cos(0.51143673) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872042228234697 × 6371000     		do = 266.344142869965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49921487-0.49926281) × cos(0.51139493) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872062685673644 × 6371000     		du = 266.350391098394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51143673)-sin(0.51139493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872042228234697-0.872062685673644)×R²
    abs(0.49926281-0.49921487)×2.04574389468526e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04574389468526e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04574389468526e-05×40589641000000     		ar = 70930.3547168145m²