Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7595 / 3315
↖ ↑ ↗
← N 72.481891°
W 13.117676°		 ← 735.43 m → N 72.481891°
W 13.095703°		 →
↑
735.53 m
↓
↑
735.53 m
↓
N 72.475276°
W 13.117676°		 ← 735.69 m →
541 028 m²		 N 72.475276°
W 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463592529296875 y=0.202362060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463592529296875 × 214)
    floor (0.463592529296875 × 16384)
    floor (7595.5)     		tx = 7595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202362060546875 × 214)
    floor (0.202362060546875 × 16384)
    floor (3315.5)     		ty = 3315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7595 / 3315 ti = "14/7595/3315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7595/3315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7595 ÷ 214
    7595 ÷ 16384     		x = 0.46356201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3315 ÷ 214
    3315 ÷ 16384     		y = 0.20233154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46356201171875 × 2 - 1) × π
    -0.0728759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22894663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20233154296875 × 2 - 1) × π
    0.5953369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87030607557611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22894663} λ = -0.22894663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87030607557611))-π/2
    2×atan(6.49028261229524)-π/2
    2×1.41792199031336-π/2
    2.83584398062673-1.57079632675     		φ = 1.26504765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22894663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.117676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26504765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.481891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7595 KachelY 3315 -0.22894663 1.26504765 -13.117676 72.481891
    Oben rechts KachelX + 1 7596 KachelY 3315 -0.22856314 1.26504765 -13.095703 72.481891
    Unten links KachelX 7595 KachelY + 1 3316 -0.22894663 1.26493220 -13.117676 72.475276
    Unten rechts KachelX + 1 7596 KachelY + 1 3316 -0.22856314 1.26493220 -13.095703 72.475276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26504765-1.26493220) × R
    0.000115450000000017 × 6371000     		dl = 735.531950000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26504765-1.26493220) × R
    0.000115450000000017 × 6371000     		dr = 735.531950000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22894663--0.22856314) × cos(1.26504765) × R
    0.000383490000000014 × 0.301007214062116 × 6371000     		do = 735.425277293286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22894663--0.22856314) × cos(1.26493220) × R
    0.000383490000000014 × 0.301117307699907 × 6371000     		du = 735.69425969742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26504765)-sin(1.26493220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301007214062116-0.301117307699907)×R²
    abs(-0.22856314--0.22894663)×0.000110093637790132×R²
    0.000383490000000014×0.000110093637790132×6371000²
    0.000383490000000014×0.000110093637790132×40589641000000     		ar = 541027.711464835m²