Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7595 / 3308
↖ ↑ ↗
← N 72.528129°
W 13.117676°		 ← 733.54 m → N 72.528129°
W 13.095703°		 →
↑
733.68 m
↓
↑
733.68 m
↓
N 72.521531°
W 13.117676°		 ← 733.81 m →
538 289 m²		 N 72.521531°
W 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463592529296875 y=0.201934814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463592529296875 × 214)
    floor (0.463592529296875 × 16384)
    floor (7595.5)     		tx = 7595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201934814453125 × 214)
    floor (0.201934814453125 × 16384)
    floor (3308.5)     		ty = 3308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7595 / 3308 ti = "14/7595/3308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7595/3308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7595 ÷ 214
    7595 ÷ 16384     		x = 0.46356201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3308 ÷ 214
    3308 ÷ 16384     		y = 0.201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46356201171875 × 2 - 1) × π
    -0.0728759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22894663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201904296875 × 2 - 1) × π
    0.59619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87299054195483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22894663} λ = -0.22894663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87299054195483))-π/2
    2×atan(6.50772896435207)-π/2
    2×1.4183254954375-π/2
    2.836650990875-1.57079632675     		φ = 1.26585466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22894663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.117676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26585466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.528129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7595 KachelY 3308 -0.22894663 1.26585466 -13.117676 72.528129
    Oben rechts KachelX + 1 7596 KachelY 3308 -0.22856314 1.26585466 -13.095703 72.528129
    Unten links KachelX 7595 KachelY + 1 3309 -0.22894663 1.26573950 -13.117676 72.521531
    Unten rechts KachelX + 1 7596 KachelY + 1 3309 -0.22856314 1.26573950 -13.095703 72.521531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26585466-1.26573950) × R
    0.000115160000000003 × 6371000     		dl = 733.684360000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26585466-1.26573950) × R
    0.000115160000000003 × 6371000     		dr = 733.684360000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22894663--0.22856314) × cos(1.26585466) × R
    0.000383490000000014 × 0.300237533748458 × 6371000     		do = 733.544782967385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22894663--0.22856314) × cos(1.26573950) × R
    0.000383490000000014 × 0.300347378789503 × 6371000     		du = 733.813157996272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26585466)-sin(1.26573950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300237533748458-0.300347378789503)×R²
    abs(-0.22856314--0.22894663)×0.000109845041044165×R²
    0.000383490000000014×0.000109845041044165×6371000²
    0.000383490000000014×0.000109845041044165×40589641000000     		ar = 538288.786498221m²