Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7595 / 10450
↖ ↑ ↗
← S 44.370987°
W 13.117676°		 ← 1 746.48 m → S 44.370987°
W 13.095703°		 →
↑
1 746.29 m
↓
↑
1 746.29 m
↓
S 44.386691°
W 13.117676°		 ← 1 746.01 m →
3 049 446 m²		 S 44.386691°
W 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463592529296875 y=0.637847900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463592529296875 × 214)
    floor (0.463592529296875 × 16384)
    floor (7595.5)     		tx = 7595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637847900390625 × 214)
    floor (0.637847900390625 × 16384)
    floor (10450.5)     		ty = 10450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7595 / 10450 ti = "14/7595/10450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7595/10450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7595 ÷ 214
    7595 ÷ 16384     		x = 0.46356201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10450 ÷ 214
    10450 ÷ 16384     		y = 0.6378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46356201171875 × 2 - 1) × π
    -0.0728759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22894663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.275634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865932154736694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22894663} λ = -0.22894663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865932154736694))-π/2
    2×atan(0.42065925029979)-π/2
    2×0.398188255974626-π/2
    0.796376511949253-1.57079632675     		φ = -0.77441981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22894663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.117676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77441981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.370987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7595 KachelY 10450 -0.22894663 -0.77441981 -13.117676 -44.370987
    Oben rechts KachelX + 1 7596 KachelY 10450 -0.22856314 -0.77441981 -13.095703 -44.370987
    Unten links KachelX 7595 KachelY + 1 10451 -0.22894663 -0.77469391 -13.117676 -44.386691
    Unten rechts KachelX + 1 7596 KachelY + 1 10451 -0.22856314 -0.77469391 -13.095703 -44.386691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77441981--0.77469391) × R
    0.000274099999999944 × 6371000     		dl = 1746.29109999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77441981--0.77469391) × R
    0.000274099999999944 × 6371000     		dr = 1746.29109999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22894663--0.22856314) × cos(-0.77441981) × R
    0.000383490000000014 × 0.714826882058554 × 6371000     		do = 1746.47561053511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22894663--0.22856314) × cos(-0.77469391) × R
    0.000383490000000014 × 0.714635176678648 × 6371000     		du = 1746.0072331156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77441981)-sin(-0.77469391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714826882058554-0.714635176678648)×R²
    abs(-0.22856314--0.22894663)×0.00019170537990576×R²
    0.000383490000000014×0.00019170537990576×6371000²
    0.000383490000000014×0.00019170537990576×40589641000000     		ar = 3049445.8724767m²