Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75949 / 58615
↖ ↑ ↗
← N 18.669665°
E 28.600159°		 ← 289.29 m → N 18.669665°
E 28.602905°		 →
↑
289.37 m
↓
↑
289.37 m
↓
N 18.667063°
E 28.600159°		 ← 289.30 m →
83 714 m²		 N 18.667063°
E 28.602905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579448699951172 y=0.447200775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579448699951172 × 217)
    floor (0.579448699951172 × 131072)
    floor (75949.5)     		tx = 75949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447200775146484 × 217)
    floor (0.447200775146484 × 131072)
    floor (58615.5)     		ty = 58615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75949 / 58615 ti = "17/75949/58615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75949/58615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75949 ÷ 217
    75949 ÷ 131072     		x = 0.579444885253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58615 ÷ 217
    58615 ÷ 131072     		y = 0.447196960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579444885253906 × 2 - 1) × π
    0.158889770507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.49916694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447196960449219 × 2 - 1) × π
    0.105606079101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.331771282270409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49916694} λ = 0.49916694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331771282270409))-π/2
    2×atan(1.39343410897747)-π/2
    2×0.948321727983013-π/2
    1.89664345596603-1.57079632675     		φ = 0.32584713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49916694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.600159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32584713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.669665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75949 KachelY 58615 0.49916694 0.32584713 28.600159 18.669665
    Oben rechts KachelX + 1 75950 KachelY 58615 0.49921487 0.32584713 28.602905 18.669665
    Unten links KachelX 75949 KachelY + 1 58616 0.49916694 0.32580171 28.600159 18.667063
    Unten rechts KachelX + 1 75950 KachelY + 1 58616 0.49921487 0.32580171 28.602905 18.667063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32584713-0.32580171) × R
    4.54199999999627e-05 × 6371000     		dl = 289.370819999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32584713-0.32580171) × R
    4.54199999999627e-05 × 6371000     		dr = 289.370819999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49916694-0.49921487) × cos(0.32584713) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.947379890364492 × 6371000     		do = 289.293846502721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49916694-0.49921487) × cos(0.32580171) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.947394428849541 × 6371000     		du = 289.298286004029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32584713)-sin(0.32580171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947379890364492-0.947394428849541)×R²
    abs(0.49921487-0.49916694)×1.45384850493979e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.45384850493979e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.45384850493979e-05×40589641000000     		ar = 83713.8399288977m²