Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75946 / 54366
↖ ↑ ↗
← N 29.310352°
E 28.591919°		 ← 266.27 m → N 29.310352°
E 28.594665°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
N 29.307957°
E 28.591919°		 ← 266.28 m →
70 911 m²		 N 29.307957°
E 28.594665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579425811767578 y=0.414783477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579425811767578 × 217)
    floor (0.579425811767578 × 131072)
    floor (75946.5)     		tx = 75946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414783477783203 × 217)
    floor (0.414783477783203 × 131072)
    floor (54366.5)     		ty = 54366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75946 / 54366 ti = "17/75946/54366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75946/54366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75946 ÷ 217
    75946 ÷ 131072     		x = 0.579421997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54366 ÷ 217
    54366 ÷ 131072     		y = 0.414779663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579421997070312 × 2 - 1) × π
    0.158843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49902313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414779663085938 × 2 - 1) × π
    0.170440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.535455168756027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49902313} λ = 0.49902313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535455168756027))-π/2
    2×atan(1.70822559624682)-π/2
    2×1.04117923156763-π/2
    2.08235846313525-1.57079632675     		φ = 0.51156214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49902313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.591919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51156214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.310352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75946 KachelY 54366 0.49902313 0.51156214 28.591919 29.310352
    Oben rechts KachelX + 1 75947 KachelY 54366 0.49907106 0.51156214 28.594665 29.310352
    Unten links KachelX 75946 KachelY + 1 54367 0.49902313 0.51152034 28.591919 29.307957
    Unten rechts KachelX + 1 75947 KachelY + 1 54367 0.49907106 0.51152034 28.594665 29.307957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51156214-0.51152034) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51156214-0.51152034) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49902313-0.49907106) × cos(0.51156214) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.871980841880597 × 6371000     		do = 266.269839997931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49902313-0.49907106) × cos(0.51152034) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.872001303890802 × 6371000     		du = 266.276088318905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51156214)-sin(0.51152034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871980841880597-0.872001303890802)×R²
    abs(0.49907106-0.49902313)×2.04620102053354e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.04620102053354e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.04620102053354e-05×40589641000000     		ar = 70910.567294814m²