Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75945 / 61831
↖ ↑ ↗
← N 10.123006°
E 28.589172°		 ← 300.67 m → N 10.123006°
E 28.591919°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
N 10.120301°
E 28.589172°		 ← 300.67 m →
90 416 m²		 N 10.120301°
E 28.591919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579418182373047 y=0.471736907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579418182373047 × 217)
    floor (0.579418182373047 × 131072)
    floor (75945.5)     		tx = 75945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471736907958984 × 217)
    floor (0.471736907958984 × 131072)
    floor (61831.5)     		ty = 61831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75945 / 61831 ti = "17/75945/61831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75945/61831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75945 ÷ 217
    75945 ÷ 131072     		x = 0.579414367675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61831 ÷ 217
    61831 ÷ 131072     		y = 0.471733093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579414367675781 × 2 - 1) × π
    0.158828735351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.49897519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471733093261719 × 2 - 1) × π
    0.0565338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.177606213092308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49897519} λ = 0.49897519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177606213092308))-π/2
    2×atan(1.19435490729382)-π/2
    2×0.873738051207992-π/2
    1.74747610241598-1.57079632675     		φ = 0.17667978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49897519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.589172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17667978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.123006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75945 KachelY 61831 0.49897519 0.17667978 28.589172 10.123006
    Oben rechts KachelX + 1 75946 KachelY 61831 0.49902313 0.17667978 28.591919 10.123006
    Unten links KachelX 75945 KachelY + 1 61832 0.49897519 0.17663258 28.589172 10.120301
    Unten rechts KachelX + 1 75946 KachelY + 1 61832 0.49902313 0.17663258 28.591919 10.120301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17667978-0.17663258) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17667978-0.17663258) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49897519-0.49902313) × cos(0.17667978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.984432686393271 × 6371000     		do = 300.671081721656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49897519-0.49902313) × cos(0.17663258) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.984440981263803 × 6371000     		du = 300.673615188626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17667978)-sin(0.17663258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984432686393271-0.984440981263803)×R²
    abs(0.49902313-0.49897519)×8.29487053155553e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.29487053155553e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.29487053155553e-06×40589641000000     		ar = 90415.5427275712m²