Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75945 / 54411
↖ ↑ ↗
← N 29.202521°
E 28.589172°		 ← 266.61 m → N 29.202521°
E 28.591919°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
N 29.200124°
E 28.589172°		 ← 266.61 m →
71 068 m²		 N 29.200124°
E 28.591919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579418182373047 y=0.415126800537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579418182373047 × 217)
    floor (0.579418182373047 × 131072)
    floor (75945.5)     		tx = 75945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415126800537109 × 217)
    floor (0.415126800537109 × 131072)
    floor (54411.5)     		ty = 54411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75945 / 54411 ti = "17/75945/54411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75945/54411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75945 ÷ 217
    75945 ÷ 131072     		x = 0.579414367675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54411 ÷ 217
    54411 ÷ 131072     		y = 0.415122985839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579414367675781 × 2 - 1) × π
    0.158828735351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.49897519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415122985839844 × 2 - 1) × π
    0.169754028320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.533298008273125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49897519} λ = 0.49897519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533298008273125))-π/2
    2×atan(1.7045446511168)-π/2
    2×1.04023823404684-π/2
    2.08047646809367-1.57079632675     		φ = 0.50968014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49897519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.589172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50968014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.202521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75945 KachelY 54411 0.49897519 0.50968014 28.589172 29.202521
    Oben rechts KachelX + 1 75946 KachelY 54411 0.49902313 0.50968014 28.591919 29.202521
    Unten links KachelX 75945 KachelY + 1 54412 0.49897519 0.50963830 28.589172 29.200124
    Unten rechts KachelX + 1 75946 KachelY + 1 54412 0.49902313 0.50963830 28.591919 29.200124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50968014-0.50963830) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dl = 266.562639999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50968014-0.50963830) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dr = 266.562639999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49897519-0.49902313) × cos(0.50968014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872900611371849 × 6371000     		do = 266.606315174524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49897519-0.49902313) × cos(0.50963830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872921024262875 × 6371000     		du = 266.612549796872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50968014)-sin(0.50963830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872900611371849-0.872921024262875)×R²
    abs(0.49902313-0.49897519)×2.04128910259449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04128910259449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04128910259449e-05×40589641000000     		ar = 71068.1141825374m²