Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75944 / 55496
↖ ↑ ↗
← N 26.568876°
E 28.586426°		 ← 273.17 m → N 26.568876°
E 28.589172°		 →
↑
273.12 m
↓
↑
273.12 m
↓
N 26.566420°
E 28.586426°		 ← 273.18 m →
74 611 m²		 N 26.566420°
E 28.589172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579410552978516 y=0.423404693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579410552978516 × 217)
    floor (0.579410552978516 × 131072)
    floor (75944.5)     		tx = 75944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423404693603516 × 217)
    floor (0.423404693603516 × 131072)
    floor (55496.5)     		ty = 55496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75944 / 55496 ti = "17/75944/55496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75944/55496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75944 ÷ 217
    75944 ÷ 131072     		x = 0.57940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55496 ÷ 217
    55496 ÷ 131072     		y = 0.42340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57940673828125 × 2 - 1) × π
    0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42340087890625 × 2 - 1) × π
    0.1531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.481286472185364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49892725} λ = 0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481286472185364))-π/2
    2×atan(1.61815477484465)-π/2
    2×1.01725535055012-π/2
    2.03451070110024-1.57079632675     		φ = 0.46371437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46371437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.568876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75944 KachelY 55496 0.49892725 0.46371437 28.586426 26.568876
    Oben rechts KachelX + 1 75945 KachelY 55496 0.49897519 0.46371437 28.589172 26.568876
    Unten links KachelX 75944 KachelY + 1 55497 0.49892725 0.46367150 28.586426 26.566420
    Unten rechts KachelX + 1 75945 KachelY + 1 55497 0.49897519 0.46367150 28.589172 26.566420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46371437-0.46367150) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dl = 273.124769999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46371437-0.46367150) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dr = 273.124769999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49892725-0.49897519) × cos(0.46371437) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894397332580204 × 6371000     		do = 273.171967157472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49892725-0.49897519) × cos(0.46367150) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894416506365007 × 6371000     		du = 273.177823324884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46371437)-sin(0.46367150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894397332580204-0.894416506365007)×R²
    abs(0.49897519-0.49892725)×1.91737848023177e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91737848023177e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91737848023177e-05×40589641000000     		ar = 74610.8304438899m²