Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75944 / 55464
↖ ↑ ↗
← N 26.647459°
E 28.586426°		 ← 272.98 m → N 26.647459°
E 28.589172°		 →
↑
272.93 m
↓
↑
272.93 m
↓
N 26.645004°
E 28.586426°		 ← 272.99 m →
74 507 m²		 N 26.645004°
E 28.589172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579410552978516 y=0.423160552978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579410552978516 × 217)
    floor (0.579410552978516 × 131072)
    floor (75944.5)     		tx = 75944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423160552978516 × 217)
    floor (0.423160552978516 × 131072)
    floor (55464.5)     		ty = 55464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75944 / 55464 ti = "17/75944/55464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75944/55464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75944 ÷ 217
    75944 ÷ 131072     		x = 0.57940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55464 ÷ 217
    55464 ÷ 131072     		y = 0.42315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57940673828125 × 2 - 1) × π
    0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42315673828125 × 2 - 1) × π
    0.1536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.482820452973206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49892725} λ = 0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.482820452973206))-π/2
    2×atan(1.62063889799249)-π/2
    2×1.01794110921659-π/2
    2.03588221843319-1.57079632675     		φ = 0.46508589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46508589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.647459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75944 KachelY 55464 0.49892725 0.46508589 28.586426 26.647459
    Oben rechts KachelX + 1 75945 KachelY 55464 0.49897519 0.46508589 28.589172 26.647459
    Unten links KachelX 75944 KachelY + 1 55465 0.49892725 0.46504305 28.586426 26.645004
    Unten rechts KachelX + 1 75945 KachelY + 1 55465 0.49897519 0.46504305 28.589172 26.645004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46508589-0.46504305) × R
    4.28399999999884e-05 × 6371000     		dl = 272.933639999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46508589-0.46504305) × R
    4.28399999999884e-05 × 6371000     		dr = 272.933639999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49892725-0.49897519) × cos(0.46508589) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89378304727545 × 6371000     		do = 272.984348613696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49892725-0.49897519) × cos(0.46504305) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.893802260176863 × 6371000     		du = 272.990216728328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46508589)-sin(0.46504305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89378304727545-0.893802260176863)×R²
    abs(0.49897519-0.49892725)×1.92129014137121e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92129014137121e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92129014137121e-05×40589641000000     		ar = 74507.412744431m²