Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75942 / 54362
↖ ↑ ↗
← N 29.319931°
E 28.580933°		 ← 266.24 m → N 29.319931°
E 28.583679°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
N 29.317536°
E 28.580933°		 ← 266.25 m →
70 904 m²		 N 29.317536°
E 28.583679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579395294189453 y=0.414752960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579395294189453 × 217)
    floor (0.579395294189453 × 131072)
    floor (75942.5)     		tx = 75942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414752960205078 × 217)
    floor (0.414752960205078 × 131072)
    floor (54362.5)     		ty = 54362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75942 / 54362 ti = "17/75942/54362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75942/54362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75942 ÷ 217
    75942 ÷ 131072     		x = 0.579391479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54362 ÷ 217
    54362 ÷ 131072     		y = 0.414749145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579391479492188 × 2 - 1) × π
    0.158782958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49883138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414749145507812 × 2 - 1) × π
    0.170501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.535646916354507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49883138} λ = 0.49883138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535646916354507))-π/2
    2×atan(1.70855317580786)-π/2
    2×1.04126282776001-π/2
    2.08252565552003-1.57079632675     		φ = 0.51172933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49883138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.580933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51172933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.319931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75942 KachelY 54362 0.49883138 0.51172933 28.580933 29.319931
    Oben rechts KachelX + 1 75943 KachelY 54362 0.49887931 0.51172933 28.583679 29.319931
    Unten links KachelX 75942 KachelY + 1 54363 0.49883138 0.51168753 28.580933 29.317536
    Unten rechts KachelX + 1 75943 KachelY + 1 54363 0.49887931 0.51168753 28.583679 29.317536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51172933-0.51168753) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51172933-0.51168753) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49883138-0.49887931) × cos(0.51172933) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.871898983501393 × 6371000     		do = 266.244843557085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49883138-0.49887931) × cos(0.51168753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.871919451605258 × 6371000     		du = 266.251093738831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51172933)-sin(0.51168753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871898983501393-0.871919451605258)×R²
    abs(0.49887931-0.49883138)×2.04681038654675e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.04681038654675e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.04681038654675e-05×40589641000000     		ar = 70903.9107954502m²