Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75941 / 54364
↖ ↑ ↗
← N 29.315141°
E 28.578186°		 ← 266.31 m → N 29.315141°
E 28.580933°		 →
↑
266.24 m
↓
↑
266.24 m
↓
N 29.312747°
E 28.578186°		 ← 266.32 m →
70 905 m²		 N 29.312747°
E 28.580933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579387664794922 y=0.414768218994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579387664794922 × 217)
    floor (0.579387664794922 × 131072)
    floor (75941.5)     		tx = 75941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414768218994141 × 217)
    floor (0.414768218994141 × 131072)
    floor (54364.5)     		ty = 54364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75941 / 54364 ti = "17/75941/54364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75941/54364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75941 ÷ 217
    75941 ÷ 131072     		x = 0.579383850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54364 ÷ 217
    54364 ÷ 131072     		y = 0.414764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579383850097656 × 2 - 1) × π
    0.158767700195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.49878344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414764404296875 × 2 - 1) × π
    0.17047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535551042555267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49878344} λ = 0.49878344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535551042555267))-π/2
    2×atan(1.70838937817577)-π/2
    2×1.04122103064484-π/2
    2.08244206128969-1.57079632675     		φ = 0.51164573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49878344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.578186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51164573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.315141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75941 KachelY 54364 0.49878344 0.51164573 28.578186 29.315141
    Oben rechts KachelX + 1 75942 KachelY 54364 0.49883138 0.51164573 28.580933 29.315141
    Unten links KachelX 75941 KachelY + 1 54365 0.49878344 0.51160394 28.578186 29.312747
    Unten rechts KachelX + 1 75942 KachelY + 1 54365 0.49883138 0.51160394 28.580933 29.312747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51164573-0.51160394) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dl = 266.244090000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51164573-0.51160394) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dr = 266.244090000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49878344-0.49883138) × cos(0.51164573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871939918185671 × 6371000     		do = 266.312894747223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49878344-0.49883138) × cos(0.51160394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871960378346832 × 6371000     		du = 266.319143807086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51164573)-sin(0.51160394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871939918185671-0.871960378346832)×R²
    abs(0.49883138-0.49878344)×2.04601611603072e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04601611603072e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04601611603072e-05×40589641000000     		ar = 70905.0662151756m²