Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75940 / 54380
↖ ↑ ↗
← N 29.276816°
E 28.575439°		 ← 266.41 m → N 29.276816°
E 28.578186°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
N 29.274421°
E 28.575439°		 ← 266.42 m →
70 966 m²		 N 29.274421°
E 28.578186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579380035400391 y=0.414890289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579380035400391 × 217)
    floor (0.579380035400391 × 131072)
    floor (75940.5)     		tx = 75940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414890289306641 × 217)
    floor (0.414890289306641 × 131072)
    floor (54380.5)     		ty = 54380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75940 / 54380 ti = "17/75940/54380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75940/54380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75940 ÷ 217
    75940 ÷ 131072     		x = 0.579376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54380 ÷ 217
    54380 ÷ 131072     		y = 0.414886474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579376220703125 × 2 - 1) × π
    0.15875244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49873550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414886474609375 × 2 - 1) × π
    0.17022705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.534784052161346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49873550} λ = 0.49873550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534784052161346))-π/2
    2×atan(1.70707956230594)-π/2
    2×1.04088658310662-π/2
    2.08177316621323-1.57079632675     		φ = 0.51097684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49873550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.575439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51097684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.276816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75940 KachelY 54380 0.49873550 0.51097684 28.575439 29.276816
    Oben rechts KachelX + 1 75941 KachelY 54380 0.49878344 0.51097684 28.578186 29.276816
    Unten links KachelX 75940 KachelY + 1 54381 0.49873550 0.51093503 28.575439 29.274421
    Unten rechts KachelX + 1 75941 KachelY + 1 54381 0.49878344 0.51093503 28.578186 29.274421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51097684-0.51093503) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51097684-0.51093503) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49873550-0.49878344) × cos(0.51097684) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872267220266224 × 6371000     		do = 266.412861227688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49873550-0.49878344) × cos(0.51093503) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872287665829124 × 6371000     		du = 266.419105828867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51097684)-sin(0.51093503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872267220266224-0.872287665829124)×R²
    abs(0.49878344-0.49873550)×2.04455628999289e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04455628999289e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04455628999289e-05×40589641000000     		ar = 70965.6278310167m²