Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7594 / 4236
↖ ↑ ↗
← N 65.256707°
W 13.139649°		 ← 1 022.64 m → N 65.256707°
W 13.117676°		 →
↑
1 022.80 m
↓
↑
1 022.80 m
↓
N 65.247508°
W 13.139649°		 ← 1 023 m →
1 046 141 m²		 N 65.247508°
W 13.117676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463531494140625 y=0.258575439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463531494140625 × 214)
    floor (0.463531494140625 × 16384)
    floor (7594.5)     		tx = 7594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258575439453125 × 214)
    floor (0.258575439453125 × 16384)
    floor (4236.5)     		ty = 4236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7594 / 4236 ti = "14/7594/4236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7594/4236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7594 ÷ 214
    7594 ÷ 16384     		x = 0.4635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4236 ÷ 214
    4236 ÷ 16384     		y = 0.258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22933013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258544921875 × 2 - 1) × π
    0.48291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51710699917554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22933013} λ = -0.22933013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51710699917554))-π/2
    2×atan(4.55901685895893)-π/2
    2×1.35487035704744-π/2
    2.70974071409488-1.57079632675     		φ = 1.13894439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22933013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13894439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.256707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7594 KachelY 4236 -0.22933013 1.13894439 -13.139649 65.256707
    Oben rechts KachelX + 1 7595 KachelY 4236 -0.22894663 1.13894439 -13.117676 65.256707
    Unten links KachelX 7594 KachelY + 1 4237 -0.22933013 1.13878385 -13.139649 65.247508
    Unten rechts KachelX + 1 7595 KachelY + 1 4237 -0.22894663 1.13878385 -13.117676 65.247508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13894439-1.13878385) × R
    0.000160539999999987 × 6371000     		dl = 1022.80033999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13894439-1.13878385) × R
    0.000160539999999987 × 6371000     		dr = 1022.80033999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22933013--0.22894663) × cos(1.13894439) × R
    0.000383499999999981 × 0.418553433719698 × 6371000     		do = 1022.64260570846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22933013--0.22894663) × cos(1.13878385) × R
    0.000383499999999981 × 0.418699229496819 × 6371000     		du = 1022.99882539609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13894439)-sin(1.13878385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418553433719698-0.418699229496819)×R²
    abs(-0.22894663--0.22933013)×0.000145795777121205×R²
    0.000383499999999981×0.000145795777121205×6371000²
    0.000383499999999981×0.000145795777121205×40589641000000     		ar = 1046141.37787149m²