Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7594 / 3314
↖ ↑ ↗
← N 72.488504°
W 13.139649°		 ← 735.18 m → N 72.488504°
W 13.117676°		 →
↑
735.34 m
↓
↑
735.34 m
↓
N 72.481891°
W 13.139649°		 ← 735.44 m →
540 703 m²		 N 72.481891°
W 13.117676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463531494140625 y=0.202301025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463531494140625 × 214)
    floor (0.463531494140625 × 16384)
    floor (7594.5)     		tx = 7594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202301025390625 × 214)
    floor (0.202301025390625 × 16384)
    floor (3314.5)     		ty = 3314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7594 / 3314 ti = "14/7594/3314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7594/3314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7594 ÷ 214
    7594 ÷ 16384     		x = 0.4635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3314 ÷ 214
    3314 ÷ 16384     		y = 0.2022705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22933013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2022705078125 × 2 - 1) × π
    0.595458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87068957077307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22933013} λ = -0.22933013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87068957077307))-π/2
    2×atan(6.49277208182326)-π/2
    2×1.41797969717034-π/2
    2.83595939434069-1.57079632675     		φ = 1.26516307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22933013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26516307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.488504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7594 KachelY 3314 -0.22933013 1.26516307 -13.139649 72.488504
    Oben rechts KachelX + 1 7595 KachelY 3314 -0.22894663 1.26516307 -13.117676 72.488504
    Unten links KachelX 7594 KachelY + 1 3315 -0.22933013 1.26504765 -13.139649 72.481891
    Unten rechts KachelX + 1 7595 KachelY + 1 3315 -0.22894663 1.26504765 -13.117676 72.481891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26516307-1.26504765) × R
    0.000115419999999977 × 6371000     		dl = 735.340819999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26516307-1.26504765) × R
    0.000115419999999977 × 6371000     		dr = 735.340819999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22933013--0.22894663) × cos(1.26516307) × R
    0.000383499999999981 × 0.300897145021989 × 6371000     		do = 735.175525143571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22933013--0.22894663) × cos(1.26504765) × R
    0.000383499999999981 × 0.301007214062116 × 6371000     		du = 735.44445446283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26516307)-sin(1.26504765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300897145021989-0.301007214062116)×R²
    abs(-0.22894663--0.22933013)×0.000110069040127669×R²
    0.000383499999999981×0.000110069040127669×6371000²
    0.000383499999999981×0.000110069040127669×40589641000000     		ar = 540703.45145489m²