Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75939 / 54379
↖ ↑ ↗
← N 29.279212°
E 28.572693°		 ← 266.35 m → N 29.279212°
E 28.575439°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
N 29.276816°
E 28.572693°		 ← 266.36 m →
70 949 m²		 N 29.276816°
E 28.575439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579372406005859 y=0.414882659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579372406005859 × 217)
    floor (0.579372406005859 × 131072)
    floor (75939.5)     		tx = 75939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414882659912109 × 217)
    floor (0.414882659912109 × 131072)
    floor (54379.5)     		ty = 54379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75939 / 54379 ti = "17/75939/54379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75939/54379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75939 ÷ 217
    75939 ÷ 131072     		x = 0.579368591308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54379 ÷ 217
    54379 ÷ 131072     		y = 0.414878845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579368591308594 × 2 - 1) × π
    0.158737182617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.49868757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414878845214844 × 2 - 1) × π
    0.170242309570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.534831989060967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49868757} λ = 0.49868757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534831989060967))-π/2
    2×atan(1.70716139636898)-π/2
    2×1.04090748975465-π/2
    2.08181497950931-1.57079632675     		φ = 0.51101865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49868757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.572693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51101865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.279212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75939 KachelY 54379 0.49868757 0.51101865 28.572693 29.279212
    Oben rechts KachelX + 1 75940 KachelY 54379 0.49873550 0.51101865 28.575439 29.279212
    Unten links KachelX 75939 KachelY + 1 54380 0.49868757 0.51097684 28.572693 29.276816
    Unten rechts KachelX + 1 75940 KachelY + 1 54380 0.49873550 0.51097684 28.575439 29.276816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51101865-0.51097684) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51101865-0.51097684) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49868757-0.49873550) × cos(0.51101865) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.872246773178535 × 6371000     		do = 266.351045318601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49868757-0.49873550) × cos(0.51097684) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.872267220266224 × 6371000     		du = 266.357289082806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51101865)-sin(0.51097684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872246773178535-0.872267220266224)×R²
    abs(0.49873550-0.49868757)×2.04470876894458e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04470876894458e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04470876894458e-05×40589641000000     		ar = 70949.1617224109m²