Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75938 / 61023
↖ ↑ ↗
← N 12.299752°
E 28.569946°		 ← 298.42 m → N 12.299752°
E 28.572693°		 →
↑
298.42 m
↓
↑
298.42 m
↓
N 12.297068°
E 28.569946°		 ← 298.42 m →
89 053 m²		 N 12.297068°
E 28.572693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579364776611328 y=0.465572357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579364776611328 × 217)
    floor (0.579364776611328 × 131072)
    floor (75938.5)     		tx = 75938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465572357177734 × 217)
    floor (0.465572357177734 × 131072)
    floor (61023.5)     		ty = 61023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75938 / 61023 ti = "17/75938/61023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75938/61023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75938 ÷ 217
    75938 ÷ 131072     		x = 0.579360961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61023 ÷ 217
    61023 ÷ 131072     		y = 0.465568542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579360961914062 × 2 - 1) × π
    0.158721923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49863963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465568542480469 × 2 - 1) × π
    0.0688629150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.216339227985313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49863963} λ = 0.49863963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.216339227985313))-π/2
    2×atan(1.24152346707866)-π/2
    2×0.892733746830368-π/2
    1.78546749366074-1.57079632675     		φ = 0.21467117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49863963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.569946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21467117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.299752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75938 KachelY 61023 0.49863963 0.21467117 28.569946 12.299752
    Oben rechts KachelX + 1 75939 KachelY 61023 0.49868757 0.21467117 28.572693 12.299752
    Unten links KachelX 75938 KachelY + 1 61024 0.49863963 0.21462433 28.569946 12.297068
    Unten rechts KachelX + 1 75939 KachelY + 1 61024 0.49868757 0.21462433 28.572693 12.297068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21467117-0.21462433) × R
    4.68399999999924e-05 × 6371000     		dl = 298.417639999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21467117-0.21462433) × R
    4.68399999999924e-05 × 6371000     		dr = 298.417639999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49863963-0.49868757) × cos(0.21467117) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.977046496420624 × 6371000     		do = 298.415149183826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49863963-0.49868757) × cos(0.21462433) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.97705647349403 × 6371000     		du = 298.418196438855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21467117)-sin(0.21462433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977046496420624-0.97705647349403)×R²
    abs(0.49868757-0.49863963)×9.97707340655296e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.97707340655296e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.97707340655296e-06×40589641000000     		ar = 89052.799253277m²