Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75933 / 54433
↖ ↑ ↗
← N 29.149762°
E 28.556214°		 ← 266.69 m → N 29.149762°
E 28.558960°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
N 29.147364°
E 28.556214°		 ← 266.69 m →
71 124 m²		 N 29.147364°
E 28.558960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579326629638672 y=0.415294647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579326629638672 × 217)
    floor (0.579326629638672 × 131072)
    floor (75933.5)     		tx = 75933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415294647216797 × 217)
    floor (0.415294647216797 × 131072)
    floor (54433.5)     		ty = 54433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75933 / 54433 ti = "17/75933/54433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75933/54433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75933 ÷ 217
    75933 ÷ 131072     		x = 0.579322814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54433 ÷ 217
    54433 ÷ 131072     		y = 0.415290832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579322814941406 × 2 - 1) × π
    0.158645629882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.49839995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415290832519531 × 2 - 1) × π
    0.169418334960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.532243396481483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49839995} λ = 0.49839995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.532243396481483))-π/2
    2×atan(1.70274796579763)-π/2
    2×1.03977783003468-π/2
    2.07955566006936-1.57079632675     		φ = 0.50875933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49839995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.556214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50875933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.149762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75933 KachelY 54433 0.49839995 0.50875933 28.556214 29.149762
    Oben rechts KachelX + 1 75934 KachelY 54433 0.49844788 0.50875933 28.558960 29.149762
    Unten links KachelX 75933 KachelY + 1 54434 0.49839995 0.50871747 28.556214 29.147364
    Unten rechts KachelX + 1 75934 KachelY + 1 54434 0.49844788 0.50871747 28.558960 29.147364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50875933-0.50871747) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dl = 266.690059999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50875933-0.50871747) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dr = 266.690059999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49839995-0.49844788) × cos(0.50875933) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.873349502664098 × 6371000     		do = 266.687777033163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49839995-0.49844788) × cos(0.50871747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.873369891657261 × 6371000     		du = 266.694003057504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50875933)-sin(0.50871747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873349502664098-0.873369891657261)×R²
    abs(0.49844788-0.49839995)×2.0388993162479e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0388993162479e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0388993162479e-05×40589641000000     		ar = 71123.8094779335m²