Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75933 / 54431
↖ ↑ ↗
← N 29.154560°
E 28.556214°		 ← 266.68 m → N 29.154560°
E 28.558960°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
N 29.152161°
E 28.556214°		 ← 266.68 m →
71 120 m²		 N 29.152161°
E 28.558960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579326629638672 y=0.415279388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579326629638672 × 217)
    floor (0.579326629638672 × 131072)
    floor (75933.5)     		tx = 75933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415279388427734 × 217)
    floor (0.415279388427734 × 131072)
    floor (54431.5)     		ty = 54431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75933 / 54431 ti = "17/75933/54431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75933/54431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75933 ÷ 217
    75933 ÷ 131072     		x = 0.579322814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54431 ÷ 217
    54431 ÷ 131072     		y = 0.415275573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579322814941406 × 2 - 1) × π
    0.158645629882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.49839995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415275573730469 × 2 - 1) × π
    0.169448852539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.532339270280724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49839995} λ = 0.49839995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.532339270280724))-π/2
    2×atan(1.70291122254016)-π/2
    2×1.03981969472446-π/2
    2.07963938944892-1.57079632675     		φ = 0.50884306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49839995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.556214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50884306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.154560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75933 KachelY 54431 0.49839995 0.50884306 28.556214 29.154560
    Oben rechts KachelX + 1 75934 KachelY 54431 0.49844788 0.50884306 28.558960 29.154560
    Unten links KachelX 75933 KachelY + 1 54432 0.49839995 0.50880120 28.556214 29.152161
    Unten rechts KachelX + 1 75934 KachelY + 1 54432 0.49844788 0.50880120 28.558960 29.152161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50884306-0.50880120) × R
    4.18600000000602e-05 × 6371000     		dl = 266.690060000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50884306-0.50880120) × R
    4.18600000000602e-05 × 6371000     		dr = 266.690060000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49839995-0.49844788) × cos(0.50884306) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.873308715215132 × 6371000     		do = 266.675322094948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49839995-0.49844788) × cos(0.50880120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.873329107269294 × 6371000     		du = 266.681549054003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50884306)-sin(0.50880120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873308715215132-0.873329107269294)×R²
    abs(0.49844788-0.49839995)×2.0392054162488e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0392054162488e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0392054162488e-05×40589641000000     		ar = 71120.4879945042m²