Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7593 / 5032
↖ ↑ ↗
← N 56.848972°
W 13.161621°		 ← 1 336.07 m → N 56.848972°
W 13.139649°		 →
↑
1 336.32 m
↓
↑
1 336.32 m
↓
N 56.836954°
W 13.161621°		 ← 1 336.50 m →
1 785 696 m²		 N 56.836954°
W 13.139649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463470458984375 y=0.307159423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463470458984375 × 214)
    floor (0.463470458984375 × 16384)
    floor (7593.5)     		tx = 7593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307159423828125 × 214)
    floor (0.307159423828125 × 16384)
    floor (5032.5)     		ty = 5032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7593 / 5032 ti = "14/7593/5032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7593/5032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7593 ÷ 214
    7593 ÷ 16384     		x = 0.46343994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5032 ÷ 214
    5032 ÷ 16384     		y = 0.30712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.0731201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22971362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30712890625 × 2 - 1) × π
    0.3857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21184482239502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22971362} λ = -0.22971362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21184482239502))-π/2
    2×atan(3.3596769462222)-π/2
    2×1.28149903210283-π/2
    2.56299806420566-1.57079632675     		φ = 0.99220174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22971362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.161621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99220174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.848972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7593 KachelY 5032 -0.22971362 0.99220174 -13.161621 56.848972
    Oben rechts KachelX + 1 7594 KachelY 5032 -0.22933013 0.99220174 -13.139649 56.848972
    Unten links KachelX 7593 KachelY + 1 5033 -0.22971362 0.99199199 -13.161621 56.836954
    Unten rechts KachelX + 1 7594 KachelY + 1 5033 -0.22933013 0.99199199 -13.139649 56.836954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99220174-0.99199199) × R
    0.000209750000000009 × 6371000     		dl = 1336.31725000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99220174-0.99199199) × R
    0.000209750000000009 × 6371000     		dr = 1336.31725000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22971362--0.22933013) × cos(0.99220174) × R
    0.000383490000000014 × 0.546847820300513 × 6371000     		do = 1336.06668243752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22971362--0.22933013) × cos(0.99199199) × R
    0.000383490000000014 × 0.547023417686885 × 6371000     		du = 1336.49570456899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99220174)-sin(0.99199199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546847820300513-0.547023417686885)×R²
    abs(-0.22933013--0.22971362)×0.000175597386371962×R²
    0.000383490000000014×0.000175597386371962×6371000²
    0.000383490000000014×0.000175597386371962×40589641000000     		ar = 1785695.61627652m²