Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7593 / 4020
↖ ↑ ↗
← N 67.169955°
W 13.161621°		 ← 947.96 m → N 67.169955°
W 13.139649°		 →
↑
948.13 m
↓
↑
948.13 m
↓
N 67.161428°
W 13.161621°		 ← 948.30 m →
898 955 m²		 N 67.161428°
W 13.139649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463470458984375 y=0.245391845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463470458984375 × 214)
    floor (0.463470458984375 × 16384)
    floor (7593.5)     		tx = 7593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245391845703125 × 214)
    floor (0.245391845703125 × 16384)
    floor (4020.5)     		ty = 4020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7593 / 4020 ti = "14/7593/4020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7593/4020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7593 ÷ 214
    7593 ÷ 16384     		x = 0.46343994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4020 ÷ 214
    4020 ÷ 16384     		y = 0.245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.0731201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22971362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245361328125 × 2 - 1) × π
    0.50927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59994196171899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22971362} λ = -0.22971362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59994196171899))-π/2
    2×atan(4.95274496724928)-π/2
    2×1.37156659971727-π/2
    2.74313319943453-1.57079632675     		φ = 1.17233687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22971362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.161621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17233687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.169955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7593 KachelY 4020 -0.22971362 1.17233687 -13.161621 67.169955
    Oben rechts KachelX + 1 7594 KachelY 4020 -0.22933013 1.17233687 -13.139649 67.169955
    Unten links KachelX 7593 KachelY + 1 4021 -0.22971362 1.17218805 -13.161621 67.161428
    Unten rechts KachelX + 1 7594 KachelY + 1 4021 -0.22933013 1.17218805 -13.139649 67.161428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17233687-1.17218805) × R
    0.00014882000000016 × 6371000     		dl = 948.132220001022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17233687-1.17218805) × R
    0.00014882000000016 × 6371000     		dr = 948.132220001022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22971362--0.22933013) × cos(1.17233687) × R
    0.000383490000000014 × 0.387998946516108 × 6371000     		do = 947.964764632608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22971362--0.22933013) × cos(1.17218805) × R
    0.000383490000000014 × 0.388136103632923 × 6371000     		du = 948.299868928965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17233687)-sin(1.17218805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387998946516108-0.388136103632923)×R²
    abs(-0.22933013--0.22971362)×0.000137157116815168×R²
    0.000383490000000014×0.000137157116815168×6371000²
    0.000383490000000014×0.000137157116815168×40589641000000     		ar = 898954.800023271m²