Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75928 / 61847
↖ ↑ ↗
← N 10.079741°
E 28.542480°		 ← 300.71 m → N 10.079741°
E 28.545227°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
N 10.077037°
E 28.542480°		 ← 300.71 m →
90 409 m²		 N 10.077037°
E 28.545227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579288482666016 y=0.471858978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579288482666016 × 217)
    floor (0.579288482666016 × 131072)
    floor (75928.5)     		tx = 75928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471858978271484 × 217)
    floor (0.471858978271484 × 131072)
    floor (61847.5)     		ty = 61847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75928 / 61847 ti = "17/75928/61847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75928/61847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75928 ÷ 217
    75928 ÷ 131072     		x = 0.57928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61847 ÷ 217
    61847 ÷ 131072     		y = 0.471855163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57928466796875 × 2 - 1) × π
    0.1585693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49816026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471855163574219 × 2 - 1) × π
    0.0562896728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.176839222698387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49816026} λ = 0.49816026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.176839222698387))-π/2
    2×atan(1.19343919976733)-π/2
    2×0.873360500588801-π/2
    1.7467210011776-1.57079632675     		φ = 0.17592467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49816026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.542480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17592467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.079741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75928 KachelY 61847 0.49816026 0.17592467 28.542480 10.079741
    Oben rechts KachelX + 1 75929 KachelY 61847 0.49820820 0.17592467 28.545227 10.079741
    Unten links KachelX 75928 KachelY + 1 61848 0.49816026 0.17587748 28.542480 10.077037
    Unten rechts KachelX + 1 75929 KachelY + 1 61848 0.49820820 0.17587748 28.545227 10.077037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17592467-0.17587748) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17592467-0.17587748) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49816026-0.49820820) × cos(0.17592467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.984565125378528 × 6371000     		do = 300.711531996733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49816026-0.49820820) × cos(0.17587748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.984573383410475 × 6371000     		du = 300.714054212251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17592467)-sin(0.17587748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984565125378528-0.984573383410475)×R²
    abs(0.49820820-0.49816026)×8.2580319463732e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.2580319463732e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.2580319463732e-06×40589641000000     		ar = 90408.5464745031m²