Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75923 / 56404
↖ ↑ ↗
← N 24.317065°
E 28.528748°		 ← 278.27 m → N 24.317065°
E 28.531494°		 →
↑
278.29 m
↓
↑
278.29 m
↓
N 24.314562°
E 28.528748°		 ← 278.28 m →
77 439 m²		 N 24.314562°
E 28.531494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579250335693359 y=0.430332183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579250335693359 × 217)
    floor (0.579250335693359 × 131072)
    floor (75923.5)     		tx = 75923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430332183837891 × 217)
    floor (0.430332183837891 × 131072)
    floor (56404.5)     		ty = 56404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75923 / 56404 ti = "17/75923/56404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75923/56404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75923 ÷ 217
    75923 ÷ 131072     		x = 0.579246520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56404 ÷ 217
    56404 ÷ 131072     		y = 0.430328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579246520996094 × 2 - 1) × π
    0.158493041992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.49792058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430328369140625 × 2 - 1) × π
    0.13934326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.437759767330353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49792058} λ = 0.49792058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437759767330353))-π/2
    2×atan(1.54923268640731)-π/2
    2×0.997604590405483-π/2
    1.99520918081097-1.57079632675     		φ = 0.42441285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49792058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.528748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42441285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.317065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75923 KachelY 56404 0.49792058 0.42441285 28.528748 24.317065
    Oben rechts KachelX + 1 75924 KachelY 56404 0.49796851 0.42441285 28.531494 24.317065
    Unten links KachelX 75923 KachelY + 1 56405 0.49792058 0.42436917 28.528748 24.314562
    Unten rechts KachelX + 1 75924 KachelY + 1 56405 0.49796851 0.42436917 28.531494 24.314562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42441285-0.42436917) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dl = 278.285279999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42441285-0.42436917) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dr = 278.285279999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49792058-0.49796851) × cos(0.42441285) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.911280670049049 × 6371000     		do = 278.270515305786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49792058-0.49796851) × cos(0.42436917) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.911298655983203 × 6371000     		du = 278.276007527151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42441285)-sin(0.42436917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911280670049049-0.911298655983203)×R²
    abs(0.49796851-0.49792058)×1.79859341542521e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.79859341542521e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.79859341542521e-05×40589641000000     		ar = 77439.3524820793m²