Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7592 / 7000
↖ ↑ ↗
← N 25.324167°
W 13.183594°		 ← 2 208.48 m → N 25.324167°
W 13.161621°		 →
↑
2 208.63 m
↓
↑
2 208.63 m
↓
N 25.304304°
W 13.183594°		 ← 2 208.85 m →
4 878 136 m²		 N 25.304304°
W 13.161621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463409423828125 y=0.427276611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463409423828125 × 214)
    floor (0.463409423828125 × 16384)
    floor (7592.5)     		tx = 7592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427276611328125 × 214)
    floor (0.427276611328125 × 16384)
    floor (7000.5)     		ty = 7000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7592 / 7000 ti = "14/7592/7000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7592/7000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7592 ÷ 214
    7592 ÷ 16384     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7000 ÷ 214
    7000 ÷ 16384     		y = 0.42724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.457126274776855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457126274776855))-π/2
    2×atan(1.57952832624386)-π/2
    2×1.00639320649028-π/2
    2.01278641298055-1.57079632675     		φ = 0.44199009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44199009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.324167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7592 KachelY 7000 -0.23009712 0.44199009 -13.183594 25.324167
    Oben rechts KachelX + 1 7593 KachelY 7000 -0.22971362 0.44199009 -13.161621 25.324167
    Unten links KachelX 7592 KachelY + 1 7001 -0.23009712 0.44164342 -13.183594 25.304304
    Unten rechts KachelX + 1 7593 KachelY + 1 7001 -0.22971362 0.44164342 -13.161621 25.304304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44199009-0.44164342) × R
    0.000346669999999993 × 6371000     		dl = 2208.63456999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44199009-0.44164342) × R
    0.000346669999999993 × 6371000     		dr = 2208.63456999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.22971362) × cos(0.44199009) × R
    0.000383499999999981 × 0.903902214294465 × 6371000     		do = 2208.48484628795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.22971362) × cos(0.44164342) × R
    0.000383499999999981 × 0.904050444309756 × 6371000     		du = 2208.84701349737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44199009)-sin(0.44164342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903902214294465-0.904050444309756)×R²
    abs(-0.22971362--0.23009712)×0.000148230015291295×R²
    0.000383499999999981×0.000148230015291295×6371000²
    0.000383499999999981×0.000148230015291295×40589641000000     		ar = 4878135.9751963m²