Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7592 / 6989
↖ ↑ ↗
← N 25.542441°
W 13.183594°		 ← 2 204.49 m → N 25.542441°
W 13.161621°		 →
↑
2 204.62 m
↓
↑
2 204.62 m
↓
N 25.522615°
W 13.183594°		 ← 2 204.85 m →
4 860 461 m²		 N 25.522615°
W 13.161621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463409423828125 y=0.426605224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463409423828125 × 214)
    floor (0.463409423828125 × 16384)
    floor (7592.5)     		tx = 7592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426605224609375 × 214)
    floor (0.426605224609375 × 16384)
    floor (6989.5)     		ty = 6989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7592 / 6989 ti = "14/7592/6989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7592/6989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7592 ÷ 214
    7592 ÷ 16384     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6989 ÷ 214
    6989 ÷ 16384     		y = 0.42657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42657470703125 × 2 - 1) × π
    0.1468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.46134472194342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46134472194342))-π/2
    2×atan(1.58620555690666)-π/2
    2×1.00829801471731-π/2
    2.01659602943462-1.57079632675     		φ = 0.44579970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44579970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.542441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7592 KachelY 6989 -0.23009712 0.44579970 -13.183594 25.542441
    Oben rechts KachelX + 1 7593 KachelY 6989 -0.22971362 0.44579970 -13.161621 25.542441
    Unten links KachelX 7592 KachelY + 1 6990 -0.23009712 0.44545366 -13.183594 25.522615
    Unten rechts KachelX + 1 7593 KachelY + 1 6990 -0.22971362 0.44545366 -13.161621 25.522615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44579970-0.44545366) × R
    0.000346040000000047 × 6371000     		dl = 2204.6208400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44579970-0.44545366) × R
    0.000346040000000047 × 6371000     		dr = 2204.6208400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.22971362) × cos(0.44579970) × R
    0.000383499999999981 × 0.902266139647135 × 6371000     		do = 2204.48746027773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.22971362) × cos(0.44545366) × R
    0.000383499999999981 × 0.90241529099888 × 6371000     		du = 2204.8518785687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44579970)-sin(0.44545366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902266139647135-0.90241529099888)×R²
    abs(-0.22971362--0.23009712)×0.000149151351744758×R²
    0.000383499999999981×0.000149151351744758×6371000²
    0.000383499999999981×0.000149151351744758×40589641000000     		ar = 4860460.74702813m²