Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7592 / 4022
↖ ↑ ↗
← N 67.152898°
W 13.183594°		 ← 948.66 m → N 67.152898°
W 13.161621°		 →
↑
948.83 m
↓
↑
948.83 m
↓
N 67.144365°
W 13.183594°		 ← 949 m →
900 279 m²		 N 67.144365°
W 13.161621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463409423828125 y=0.245513916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463409423828125 × 214)
    floor (0.463409423828125 × 16384)
    floor (7592.5)     		tx = 7592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245513916015625 × 214)
    floor (0.245513916015625 × 16384)
    floor (4022.5)     		ty = 4022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7592 / 4022 ti = "14/7592/4022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7592/4022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7592 ÷ 214
    7592 ÷ 16384     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4022 ÷ 214
    4022 ÷ 16384     		y = 0.2454833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2454833984375 × 2 - 1) × π
    0.509033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59917497132507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59917497132507))-π/2
    2×atan(4.94894771584968)-π/2
    2×1.37141775138342-π/2
    2.74283550276684-1.57079632675     		φ = 1.17203918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17203918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.152898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7592 KachelY 4022 -0.23009712 1.17203918 -13.183594 67.152898
    Oben rechts KachelX + 1 7593 KachelY 4022 -0.22971362 1.17203918 -13.161621 67.152898
    Unten links KachelX 7592 KachelY + 1 4023 -0.23009712 1.17189025 -13.183594 67.144365
    Unten rechts KachelX + 1 7593 KachelY + 1 4023 -0.22971362 1.17189025 -13.161621 67.144365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17203918-1.17189025) × R
    0.000148930000000158 × 6371000     		dl = 948.833030001007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17203918-1.17189025) × R
    0.000148930000000158 × 6371000     		dr = 948.833030001007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.22971362) × cos(1.17203918) × R
    0.000383499999999981 × 0.388273298230749 × 6371000     		do = 948.659801691231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.22971362) × cos(1.17189025) × R
    0.000383499999999981 × 0.388410539512743 × 6371000     		du = 948.995120364838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17203918)-sin(1.17189025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388273298230749-0.388410539512743)×R²
    abs(-0.22971362--0.23009712)×0.000137241281993217×R²
    0.000383499999999981×0.000137241281993217×6371000²
    0.000383499999999981×0.000137241281993217×40589641000000     		ar = 900278.836459134m²