Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75912 / 54439
↖ ↑ ↗
← N 29.135369°
E 28.498535°		 ← 266.78 m → N 29.135369°
E 28.501282°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
N 29.132970°
E 28.498535°		 ← 266.79 m →
71 166 m²		 N 29.132970°
E 28.501282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579166412353516 y=0.415340423583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579166412353516 × 217)
    floor (0.579166412353516 × 131072)
    floor (75912.5)     		tx = 75912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415340423583984 × 217)
    floor (0.415340423583984 × 131072)
    floor (54439.5)     		ty = 54439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75912 / 54439 ti = "17/75912/54439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75912/54439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75912 ÷ 217
    75912 ÷ 131072     		x = 0.57916259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54439 ÷ 217
    54439 ÷ 131072     		y = 0.415336608886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57916259765625 × 2 - 1) × π
    0.1583251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49739327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415336608886719 × 2 - 1) × π
    0.169326782226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.531955775083763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49739327} λ = 0.49739327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531955775083763))-π/2
    2×atan(1.70225828947182)-π/2
    2×1.03965222423551-π/2
    2.07930444847101-1.57079632675     		φ = 0.50850812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49739327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.498535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50850812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.135369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75912 KachelY 54439 0.49739327 0.50850812 28.498535 29.135369
    Oben rechts KachelX + 1 75913 KachelY 54439 0.49744121 0.50850812 28.501282 29.135369
    Unten links KachelX 75912 KachelY + 1 54440 0.49739327 0.50846625 28.498535 29.132970
    Unten rechts KachelX + 1 75913 KachelY + 1 54440 0.49744121 0.50846625 28.501282 29.132970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50850812-0.50846625) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50850812-0.50846625) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49739327-0.49744121) × cos(0.50850812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873471838010532 × 6371000     		do = 266.780782493661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49739327-0.49744121) × cos(0.50846625) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873492222687487 × 6371000     		du = 266.787008498704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50850812)-sin(0.50846625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873471838010532-0.873492222687487)×R²
    abs(0.49744121-0.49739327)×2.03846769548655e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03846769548655e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03846769548655e-05×40589641000000     		ar = 71165.6099092439m²