Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7591 / 5034
↖ ↑ ↗
← N 56.824933°
W 13.205566°		 ← 1 336.92 m → N 56.824933°
W 13.183594°		 →
↑
1 337.21 m
↓
↑
1 337.21 m
↓
N 56.812907°
W 13.205566°		 ← 1 337.35 m →
1 788 035 m²		 N 56.812907°
W 13.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463348388671875 y=0.307281494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463348388671875 × 214)
    floor (0.463348388671875 × 16384)
    floor (7591.5)     		tx = 7591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307281494140625 × 214)
    floor (0.307281494140625 × 16384)
    floor (5034.5)     		ty = 5034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7591 / 5034 ti = "14/7591/5034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7591/5034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7591 ÷ 214
    7591 ÷ 16384     		x = 0.46331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5034 ÷ 214
    5034 ÷ 16384     		y = 0.3072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.0733642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23048061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3072509765625 × 2 - 1) × π
    0.385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2110778320011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23048061} λ = -0.23048061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2110778320011))-π/2
    2×atan(3.35710109423091)-π/2
    2×1.28128925124753-π/2
    2.56257850249507-1.57079632675     		φ = 0.99178218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23048061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.205566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99178218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.824933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7591 KachelY 5034 -0.23048061 0.99178218 -13.205566 56.824933
    Oben rechts KachelX + 1 7592 KachelY 5034 -0.23009712 0.99178218 -13.183594 56.824933
    Unten links KachelX 7591 KachelY + 1 5035 -0.23048061 0.99157229 -13.205566 56.812907
    Unten rechts KachelX + 1 7592 KachelY + 1 5035 -0.23009712 0.99157229 -13.183594 56.812907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99178218-0.99157229) × R
    0.000209889999999935 × 6371000     		dl = 1337.20918999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99178218-0.99157229) × R
    0.000209889999999935 × 6371000     		dr = 1337.20918999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23048061--0.23009712) × cos(0.99178218) × R
    0.000383490000000014 × 0.547199041227079 × 6371000     		do = 1336.92479059987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23048061--0.23009712) × cos(0.99157229) × R
    0.000383490000000014 × 0.547374707630456 × 6371000     		du = 1337.35398135471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99178218)-sin(0.99157229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547199041227079-0.547374707630456)×R²
    abs(-0.23009712--0.23048061)×0.00017566640337674×R²
    0.000383490000000014×0.00017566640337674×6371000²
    0.000383490000000014×0.00017566640337674×40589641000000     		ar = 1788035.08180209m²