Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7591 / 5033
↖ ↑ ↗
← N 56.836954°
W 13.205566°		 ← 1 336.50 m → N 56.836954°
W 13.183594°		 →
↑
1 336.70 m
↓
↑
1 336.70 m
↓
N 56.824933°
W 13.205566°		 ← 1 336.92 m →
1 786 780 m²		 N 56.824933°
W 13.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463348388671875 y=0.307220458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463348388671875 × 214)
    floor (0.463348388671875 × 16384)
    floor (7591.5)     		tx = 7591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307220458984375 × 214)
    floor (0.307220458984375 × 16384)
    floor (5033.5)     		ty = 5033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7591 / 5033 ti = "14/7591/5033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7591/5033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7591 ÷ 214
    7591 ÷ 16384     		x = 0.46331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5033 ÷ 214
    5033 ÷ 16384     		y = 0.30718994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.0733642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23048061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30718994140625 × 2 - 1) × π
    0.3856201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21146132719806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23048061} λ = -0.23048061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21146132719806))-π/2
    2×atan(3.35838877326984)-π/2
    2×1.28139415851169-π/2
    2.56278831702339-1.57079632675     		φ = 0.99199199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23048061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.205566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99199199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.836954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7591 KachelY 5033 -0.23048061 0.99199199 -13.205566 56.836954
    Oben rechts KachelX + 1 7592 KachelY 5033 -0.23009712 0.99199199 -13.183594 56.836954
    Unten links KachelX 7591 KachelY + 1 5034 -0.23048061 0.99178218 -13.205566 56.824933
    Unten rechts KachelX + 1 7592 KachelY + 1 5034 -0.23009712 0.99178218 -13.183594 56.824933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99199199-0.99178218) × R
    0.000209810000000088 × 6371000     		dl = 1336.69951000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99199199-0.99178218) × R
    0.000209810000000088 × 6371000     		dr = 1336.69951000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23048061--0.23009712) × cos(0.99199199) × R
    0.000383490000000014 × 0.547023417686885 × 6371000     		do = 1336.49570456899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23048061--0.23009712) × cos(0.99178218) × R
    0.000383490000000014 × 0.547199041227079 × 6371000     		du = 1336.92479059987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99199199)-sin(0.99178218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547023417686885-0.547199041227079)×R²
    abs(-0.23009712--0.23048061)×0.000175623540194403×R²
    0.000383490000000014×0.000175623540194403×6371000²
    0.000383490000000014×0.000175623540194403×40589641000000     		ar = 1786779.93951421m²