Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7591 / 4183
↖ ↑ ↗
← N 65.739656°
W 13.205566°		 ← 1 003.88 m → N 65.739656°
W 13.183594°		 →
↑
1 004.07 m
↓
↑
1 004.07 m
↓
N 65.730626°
W 13.205566°		 ← 1 004.23 m →
1 008 138 m²		 N 65.730626°
W 13.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463348388671875 y=0.255340576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463348388671875 × 214)
    floor (0.463348388671875 × 16384)
    floor (7591.5)     		tx = 7591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255340576171875 × 214)
    floor (0.255340576171875 × 16384)
    floor (4183.5)     		ty = 4183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7591 / 4183 ti = "14/7591/4183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7591/4183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7591 ÷ 214
    7591 ÷ 16384     		x = 0.46331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4183 ÷ 214
    4183 ÷ 16384     		y = 0.25531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.0733642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23048061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25531005859375 × 2 - 1) × π
    0.4893798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.53743224461444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23048061} λ = -0.23048061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53743224461444))-π/2
    2×atan(4.65262810872423)-π/2
    2×1.35908488892873-π/2
    2.71816977785746-1.57079632675     		φ = 1.14737345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23048061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.205566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14737345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.739656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7591 KachelY 4183 -0.23048061 1.14737345 -13.205566 65.739656
    Oben rechts KachelX + 1 7592 KachelY 4183 -0.23009712 1.14737345 -13.183594 65.739656
    Unten links KachelX 7591 KachelY + 1 4184 -0.23048061 1.14721585 -13.205566 65.730626
    Unten rechts KachelX + 1 7592 KachelY + 1 4184 -0.23009712 1.14721585 -13.183594 65.730626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14737345-1.14721585) × R
    0.000157599999999869 × 6371000     		dl = 1004.06959999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14737345-1.14721585) × R
    0.000157599999999869 × 6371000     		dr = 1004.06959999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23048061--0.23009712) × cos(1.14737345) × R
    0.000383490000000014 × 0.41088344922631 × 6371000     		do = 1003.87652011597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23048061--0.23009712) × cos(1.14721585) × R
    0.000383490000000014 × 0.411027126132944 × 6371000     		du = 1004.22755365924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14737345)-sin(1.14721585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41088344922631-0.411027126132944)×R²
    abs(-0.23009712--0.23048061)×0.000143676906633861×R²
    0.000383490000000014×0.000143676906633861×6371000²
    0.000383490000000014×0.000143676906633861×40589641000000     		ar = 1008138.12914286m²