Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7591 / 3379
↖ ↑ ↗
← N 72.053612°
W 13.205566°		 ← 752.82 m → N 72.053612°
W 13.183594°		 →
↑
752.99 m
↓
↑
752.99 m
↓
N 72.046840°
W 13.205566°		 ← 753.10 m →
566 968 m²		 N 72.046840°
W 13.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463348388671875 y=0.206268310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463348388671875 × 214)
    floor (0.463348388671875 × 16384)
    floor (7591.5)     		tx = 7591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206268310546875 × 214)
    floor (0.206268310546875 × 16384)
    floor (3379.5)     		ty = 3379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7591 / 3379 ti = "14/7591/3379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7591/3379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7591 ÷ 214
    7591 ÷ 16384     		x = 0.46331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3379 ÷ 214
    3379 ÷ 16384     		y = 0.20623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.0733642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23048061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20623779296875 × 2 - 1) × π
    0.5875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84576238297064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23048061} λ = -0.23048061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84576238297064))-π/2
    2×atan(6.33292606541998)-π/2
    2×1.41418454267448-π/2
    2.82836908534897-1.57079632675     		φ = 1.25757276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23048061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.205566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25757276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.053612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7591 KachelY 3379 -0.23048061 1.25757276 -13.205566 72.053612
    Oben rechts KachelX + 1 7592 KachelY 3379 -0.23009712 1.25757276 -13.183594 72.053612
    Unten links KachelX 7591 KachelY + 1 3380 -0.23048061 1.25745457 -13.205566 72.046840
    Unten rechts KachelX + 1 7592 KachelY + 1 3380 -0.23009712 1.25745457 -13.183594 72.046840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25757276-1.25745457) × R
    0.000118190000000018 × 6371000     		dl = 752.988490000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25757276-1.25745457) × R
    0.000118190000000018 × 6371000     		dr = 752.988490000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23048061--0.23009712) × cos(1.25757276) × R
    0.000383490000000014 × 0.308126957011052 × 6371000     		do = 752.820338567123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23048061--0.23009712) × cos(1.25745457) × R
    0.000383490000000014 × 0.3082393943534 × 6371000     		du = 753.095047144898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25757276)-sin(1.25745457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308126957011052-0.3082393943534)×R²
    abs(-0.23009712--0.23048061)×0.000112437342348615×R²
    0.000383490000000014×0.000112437342348615×6371000²
    0.000383490000000014×0.000112437342348615×40589641000000     		ar = 566968.476837432m²