Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7590 / 5262
↖ ↑ ↗
← N 76.480910°
W 96.613769°		 ← 285.58 m → N 76.480910°
W 96.602783°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
N 76.478342°
W 96.613769°		 ← 285.64 m →
81 555 m²		 N 76.478342°
W 96.602783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231643676757812 y=0.160598754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231643676757812 × 215)
    floor (0.231643676757812 × 32768)
    floor (7590.5)     		tx = 7590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160598754882812 × 215)
    floor (0.160598754882812 × 32768)
    floor (5262.5)     		ty = 5262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7590 / 5262 ti = "15/7590/5262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7590/5262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7590 ÷ 215
    7590 ÷ 32768     		x = 0.23162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5262 ÷ 215
    5262 ÷ 32768     		y = 0.16058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.5367431640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.68622838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16058349609375 × 2 - 1) × π
    0.6788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13261679029706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68622838} λ = -1.68622838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13261679029706))-π/2
    2×atan(8.43691558919544)-π/2
    2×1.45282001087084-π/2
    2.90564002174168-1.57079632675     		φ = 1.33484369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68622838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.613769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33484369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.480910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7590 KachelY 5262 -1.68622838 1.33484369 -96.613769 76.480910
    Oben rechts KachelX + 1 7591 KachelY 5262 -1.68603663 1.33484369 -96.602783 76.480910
    Unten links KachelX 7590 KachelY + 1 5263 -1.68622838 1.33479887 -96.613769 76.478342
    Unten rechts KachelX + 1 7591 KachelY + 1 5263 -1.68603663 1.33479887 -96.602783 76.478342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33484369-1.33479887) × R
    4.48200000000565e-05 × 6371000     		dl = 285.54822000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33484369-1.33479887) × R
    4.48200000000565e-05 × 6371000     		dr = 285.54822000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68622838--1.68603663) × cos(1.33484369) × R
    0.000191749999999935 × 0.233769332662946 × 6371000     		do = 285.581792227266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68622838--1.68603663) × cos(1.33479887) × R
    0.000191749999999935 × 0.233812910559393 × 6371000     		du = 285.635028695997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33484369)-sin(1.33479887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233769332662946-0.233812910559393)×R²
    abs(-1.68603663--1.68622838)×4.35778964461842e-05×R²
    0.000191749999999935×4.35778964461842e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.35778964461842e-05×40589641000000     		ar = 81554.9732378177m²