Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7590 / 5077
↖ ↑ ↗
← N 56.304349°
W 13.227539°		 ← 1 355.49 m → N 56.304349°
W 13.205566°		 →
↑
1 355.69 m
↓
↑
1 355.69 m
↓
N 56.292157°
W 13.227539°		 ← 1 355.92 m →
1 837 904 m²		 N 56.292157°
W 13.205566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463287353515625 y=0.309906005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463287353515625 × 214)
    floor (0.463287353515625 × 16384)
    floor (7590.5)     		tx = 7590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309906005859375 × 214)
    floor (0.309906005859375 × 16384)
    floor (5077.5)     		ty = 5077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7590 / 5077 ti = "14/7590/5077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7590/5077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7590 ÷ 214
    7590 ÷ 16384     		x = 0.4632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5077 ÷ 214
    5077 ÷ 16384     		y = 0.30987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30987548828125 × 2 - 1) × π
    0.3802490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1945875385318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23086411} λ = -0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1945875385318))-π/2
    2×atan(3.30219546118273)-π/2
    2×1.27674629693988-π/2
    2.55349259387975-1.57079632675     		φ = 0.98269627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98269627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.304349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7590 KachelY 5077 -0.23086411 0.98269627 -13.227539 56.304349
    Oben rechts KachelX + 1 7591 KachelY 5077 -0.23048061 0.98269627 -13.205566 56.304349
    Unten links KachelX 7590 KachelY + 1 5078 -0.23086411 0.98248348 -13.227539 56.292157
    Unten rechts KachelX + 1 7591 KachelY + 1 5078 -0.23048061 0.98248348 -13.205566 56.292157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98269627-0.98248348) × R
    0.000212790000000074 × 6371000     		dl = 1355.68509000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98269627-0.98248348) × R
    0.000212790000000074 × 6371000     		dr = 1355.68509000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23086411--0.23048061) × cos(0.98269627) × R
    0.000383500000000009 × 0.554781279594194 × 6371000     		do = 1355.48517263501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23086411--0.23048061) × cos(0.98248348) × R
    0.000383500000000009 × 0.554958307511156 × 6371000     		du = 1355.91770113843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98269627)-sin(0.98248348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554781279594194-0.554958307511156)×R²
    abs(-0.23048061--0.23086411)×0.00017702791696228×R²
    0.000383500000000009×0.00017702791696228×6371000²
    0.000383500000000009×0.00017702791696228×40589641000000     		ar = 1837904.23141474m²